חידה: פנים המשולש

[טלמון סילבר]

../images/Emo35.gif../images/Emo35.gif שתי חידות המשך

מכיוון שכבר פתרנו את החידה הנוכחית, הרי שתי חידות המשך. 1. הוכיחו (גם כן ברמה של כיתה ה'), שאם מצולע קמור ראשון מוכל במצולע קמור שני, אזי היקף המצולע הראשון קטן או שווה להיקף המצולע השני, והשוויון מתקיים רק כאשר הם חופפים. 2. (בלי התיחסות לרמה הנדרשת) הוכיחו, שהיקפו של מעגל המוכל במצולע קטן מהיקף המצולע.

 

[עריסטו]

פתרון לשאלה השניה

עיגול הוא הצורה בעלת ההיקף המינימלי ששטחה נתון. שטח העיגול קטן משטח המצולע ולכן גם היקף העיגול קטן מהיקף המצולע.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo127.gif

 

[1אברהם]

../images/Emo62.gif לגבי 1

נתון מצולע קמור שבתוכו מצולע קמור אחר בעל n צלעות שאורכם הוא i1 i2 i3 ...in . נאריך כל צלע של המצולע הפנימי לכיוון אחד בלבד עד שיחתוך את שפת המצולע החיצוני . נסמן את האורך מכל קודקוד של המצולע הפנימי עד החיתוך עם שפת המצולע החיצוני ב r1 r2 r3...rn . נסמן את אורך ההיקף של המצולע החיצוני בין נקודת חיתוך rk ל rk+1 ב ak . בציור יש דוגמה עבור n=7 כאשר למשל ההיקפים החלקיים a1 a5 מודגשים. מהטענה שהמרחק הקצר ביותר בין 2 נקודות הוא דרך קו ישר ביניהם נובע ש:

a1+r1 > i2+r2 a2+r2 > i3+r3 a3+r3 > i4+r4 a4+r4 > i5+r5 ...... an+rn > i1+r1 נחבר את כל האי שוויונות a1+a2+...an + r1+r2+...rn > i1+i2+...in + r1+r2+...rn a1+a2+...an > i1+i2+...in​

קיבלנו שהיקף הכולל של המצולע החיצוני גדול מהיקף המצולע הפנימי.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo127.gif + דרך נוספת

נתחיל מהמצולע החיצוני. נמשיך את אחת הצלעות של המצולע הפנימי לשני הכיוונים עד גבול המצולע החיצוני. הקטע שהתקבל בין שתי נקודות החיתוך הללו, מהווה קיצור דרך (בהשוואה לנתיב לאורך המצולע הגדול המקורי. וכן הלאה, עד שיתקבל המצולע הפנימי.

 

[טלמון סילבר]

או במילים אחרות.

נעביר ישר לאורך אחת הצלעות של המצולע הפנימי, שאינה נשענת על צלע המצולע החיצוני. ישר זה מחלק את המצולע הגדול לשני מצולעים: זה שהמצולע הפנימי מוכל בו במלואו, ועוד מצולע ריק (אם לא נחשיב את הצלע. ניקח את הראשון, זה שמכיל את המצולע הפנימי. ההיקף שלו קטן מהיקף המצולע החיצוני המקורי, כי עכשיו קטע ישר החליף קו שבור המחבר אותן שתי נקודות. ובכן, קיבלנו מצולע אחר המכיל במלואו את אותו המצולע הפנימי, והיקפו קטן מהיקף המצולע החיצוני המקורי. עכשיו נעשה אותו דבר למצולע החיצוני החדש. נעביר ישר דרך אחת הצלעות של המצולע הפנימי, אשר עדין אינה נשענת על צלע המצולע החיצוני החדש, וכך נקבל מצולע חיצוני נוסף, המכיל את אותו המצולע הפנימי במלואו, והיקפו (של המצולע החיצוני הנוסף) עוד יותר קטן. וכך, עד שיתקבל מצולע חיצוני, שכל צלעות המצולע הפנימי נשענות על צלעותיו, כלומר, זה יהיה המצולע הפנימי. נסו את השיטה הזאת על החידה המקורית עם המשולשים

 

[1אברהם]

ואם המצולע הפנימי לא קמור אז זה לא

יעבוד כי אחד הישרים האלו יחתוך את המצולע הפנימי

 

[Tesseract]

פשוט מאוד!

AC+CB>AB AD+DB>AB​

נחסר את שני אגפי אי-השוויונים אחד מהשני, ונקבל:

AC+CB-(AD+DB)>AB-AB AC+CB>AD+DB​

מש"ל. כל כך פשוט. (הערה: ה"פתרון" הזה נאמר בצחוק, למי שעדיין לא הבין

)

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo6.gif

עכשיו בואו נחסר להיפך

 

[Tesseract]

אגב, שאלה לא קשורה..

"אי-השוויונים" או "האי-שוויונים"? כל פעם שאני מגיע לקטע הזה, אני מתחיל להתחבט ולהתלבט. מצד אחד, בספרים, מאמרים וכו', יוצא לי לרוב לראות "אי-השוויונים", אבל מצד שני, אפשר גם להסתכל על דוגמאות אחרות של מילים עם תחיליות - לדוגמא, "התקופה הפרה-היסטורית" ולא "התקופה פרה-ההיסטורית". מה אתם אומרים?

 

[משוחרר מאברבנל]

האי-שיוויונות !

 

[Gaius Octavius]

אי-השוויונים.

משהו בלשון, צמד סמוך או משהו, יש סומך ובלה בלה בלה, בקיצור, למילה השניה יש ה"א הידיעה כשבא לך ולראשונה אי-אפשר להוסיף ה"א הידיעה בכלל. כמו, למשל: בית-ספר ובית-הספר. אסור לומר הבית-ספר או "הבית-הספר".

 

[Tesseract]

חשבתי על זה..

לדעתי דווקא "האי-שוויונות" נשמע יותר נכון. אין כאן צירוף סמיכות, מכיוון שלא מדובר על שני שמות עצם. בקיצור, עכשיו אני יכול להיות רגוע