חידה: פנים המשולש

[Permutation]

חידה: פנים המשולש

השאלה הבאה נשאלה באוניברסיטאות רבוות ברחבי העולם, וגם בפורום "מתמטיקה" בתפוז במקביל. פחות מחמישה אחוז מהסטודנטים למתמטיקה הצליחו לפתור אותה בפחות משעה למרות שהיא מצריכה שימוש בהבנה מתמטית כשל ילד בכיתה ה', רמת הקושי מפתיעה: ABC הוא משולש, D היא נקודה בפנים המשולש (interior). הוכח ש AC+CB גדול מ AD+DB... זו גאומטריה יוקלידית, לא השטח של ספרה או משהו כזה...כשאני אומר פנים (interior) אני מתכוון לגאומטריה מישורית. מה ההוכחה וכמה זמן לקח לכם לפתור?

 

[Wasted Youth]

אההה

טוב לא יודע עם זה מה שהתכוונת עלייו בשאלה .... אבל עם כן , לא לקח לי יותר מרבע שעה לפתור אותה ואני בן שש עשרה ..

 

[עריסטו]

מה הצמצום המוזר הזה?

בשלב מסויים מחקת שני איברים מכל אגף. אבל סכום האיברים שמחקת מהאגף הימני אינו שווה לסכום האיברים שמחקת מהאגף השמאלי...

 

[עריסטו]

חוץ מזה איך אתה יודע ש - CF>DE ?

 

[Wasted Youth]

KK

C היא הנקודה הרחוקה ביותר מהבסיס בתוך במשולש לכן לא משנה איפה תשים נקודה בתוך המשולש הגובה מהנקודה c לבסיס ab יהיה תמיד יותר גדול . והצמצום הוא של קטע ששווה לעצמו הסברתי את זה שם ... הקטע איי ביי שווה לעצמו והאיברים שהורדתי הם AE+EB ששוים ל : AF+FB

 

[עריסטו]

אכן דרך מעניינת ויצירתית לצמצם

 

[FuryUri]

אבל יש לך טעות בסיסית...

שני הקטעים אכן שווים... אבל לא כאשר הם בריבוע... גם 1+4=3+2 אבל כשתהפוך את זה לבריבוע יצא לך: 2^1 + 2^4 = 2^2 + 2^3 זה שוה ל 1+16 = 9+4 זה שווה ל 17=13 ... לכן זה לא נכון... אתה לא יכול לעשות בריבוע לכל איבר בנפרד באגף... אתה צריך לכל האגף כולו... כאילו 2^(1+4)=2^(2+3)...

 

[cohadon]

אולי אפשר בע"פ:

C היא הנקודה הרחוקה ביותר מקצות הקטע AB מכל נק' אחרת שתהיה בתוך המשולש, לכן סכום הצלעות AC וBC יהיה יותר גדול מהנק' האחרות במרחק מAB...

 

[FuryUri]

הצלחתי עם טריגו בשנייה ורבע...

אבל עם זה בלי טריגו אז ככה: ציירו לכם על דף את המשולש כמו שצריך... עכשיו- נסתכל על הזווית adc ... היא חייבת!!! להיות גדולה או שווה ל 90 מכיוון שהיא בתוך המשולש (את המשפט הזה אני אוכיח בסוף...) כל הזוויות חייבות להיות גדולות... עכשיו...יש משפט שמוכיח שצלע מול זוית גדולה במשולש היא הגדולה ביותר... לכן בגלל שהזווית adc היא הגדולה ביותר היא יותר גדולה מ ad ... כך נוכיח ש bc גדולה מ db ... עכשיו... יש לנו שני אי שיוויונים: bc>db ac>ad לפי כלל החיסור וכלל המעבר: ac+cb>ad+db מש"ל... עכשיו... את המשפט של זווית פנימית במשולש מצאתי בעצמי... בחיים לא שמעתי עליו... אבל הוא היה נראה הגיוני ומצאתי לו הוכחה פשוטה... ציירו משולש ABC עם נקודה בתוכו D ... שלחו מנק' D ישרים לכל הזוויות... עכשיו... שלושת הזוויות שנוצרו (ADB ADC BDC ) סכומן שווה ל 360... הגענו למסקנה ששלושת הזוויות שוות ל 360...מובן עד כאן? כאן אני מסתבך קצת בהסבר כי קשה קצת לכתוב את זה מעל דפי הפורום כי אין לי סורק ואני לא יכול לכתוב רגיל... אז תעקבו טוב... הזווית המינימלית שאפשר לעשות כדי שהיא לא תהיה קהה וככה תהיה הגדולה ביותר במשולש היא 89.999999999... עכשיו... נוכיח בדרך השלילה: נניח כי אכן שתי זוויות פנימיות במשולש הן 89.999... או פחות... מה שיווצר זה שהזווית השלישית תהיה 180.00000000001 מה שאומר שהזווית היא יותר משטוחה... מה שאומר שהזווית היא מחוץ למשולש!!! לכן שלושת הזוויות יהיו כדולות מ 90... ולכן הזווית הפנימיות הן הזוויות הגדולות ביותר במשולשים הקטנים שנוצרו שהרי אם יש זווית של 90 ומעלה במשולש (שסכום כל משולש הוא 180 מעולת...) צריך לבוא עוד שתי זוויות.. ולכן אף-אחת מהן לא תהיה גדולה מהזווית הגדולה או שווה ל 90...

 

[FuryUri]

שכחתי להגיד את הזמן...

לא בדיוק מדדתי... אבל זה היה משהו כזה: 10 דקות חשבתי על התרגיל הזה ועוד כ 10-15 דקות על הקטע של להוכיח את המשפט שהוכחתי... ככה שזה 25 פלוס מינוס... די מכובד הא? :>

 

[1אברהם]

אבל

הגעת למסקנה שכל אחד לחוד מהאי שוויון הבאים מתקים AC>AD וגם CB>DB . שזה לא בהכרח נכון, ראה ציור שבו AD>AC

 

[טלמון סילבר]

חידה מצוינת ../images/Emo45.gif

אשלח לכל החברים שלי

אני מציע לכל מי שמעל כיתה... מסוימת, לא לכתוב את הפתרון

 

[Permutation]

אכן חידה טובה

יש לך הוכחה?

 

[טלמון סילבר]

אשלח לך במסר ../images/Emo13.gif

 

[Gaius Octavius]

פשוט נורא, מה הבעיה?

מאחר והיקף המשולש הגדול גדול מהיקף המשולש הקטן, מחסירים מהם את הצלע המשותפת ומקבלים את מה שניסית להוכיח. מש"ל.

 

[עריסטו]

ואיך אתה יודע שהיקף המשולש

הגדול גדול מהיקף המשולש הקטן?

 

[Gaius Octavius]

חוק מתימטי בסיסי?

זה הגיון מובן מאליו. אם היתה זו צורה עם מעל מ3 צלעות היה זה אפשרי שהיקפה גדול יותר, אבל לשניהם 3 צלעות. המשולש הקטן מוכל בתוכו, הוא לא יכול להיות גדול יותר מן המשולש המכיל. זה כמו שתגיד שמעגל המשיק למעגל מבפנים הוא בעל היקף גדול יותר מהמעגל הגדול.

 

[slallum]

אבל

אין לך שום משפט שיכול להוכיח את זה, בגלל זה החידה בעייתית

ברור שהיקף המשולש הקטן גדול יותר מהמשולש הגדול. אבל איך תוכיח מתמטית שהמשולש הקטן באמת יותר קטן מהגדול?

 

[עריסטו]

האם זה כל כך מובן מאליו שאפשר גם

להוכיח את זה?

 

[טלמון סילבר]

הוכחה ש..."המעגל הקטן" יותר קטן ../images/Emo8.gif

הקטרים של שניהם (של המעגל החיצוני ושל הפנימי) מאונכים למשיק המשותף בנקודת ההשקה, משמע, הם נמצאים על ישר אחד. כאשר קטע מוכל בקטע אחר, אכן אורך הקטע המוכל קטן יותר מאורך הקטע המכיל. קוטר המעגל המוכל קטן מקוטר המעגל המכיל. נכפיל את שני האגפים של אי-שוויון זה ב-π, ונקבל שהיקף המעגל המוכל קטן מהיקף המעגל המכיל. מש"ל. עכשיו נסה להוכיח את התרגיל הנתון.