חידה על סולם

[maersk]

חידה על סולם

נתון מגדל בצורת גליל (cylinder) עם קוטר D ודלת בגובה H מהאדמה. עליך לחשב את הסולם הארוך ביותר L שתוכל להכניס דרך הדלת לתוך המגדל לגמרי. התעלמו מעובי הסולם. בהצלחה!

 

[amitush26]

עוד פעם שאלה עם אינסוף?

הרי אם הקוטר והגובה הם לא ידועים לנו, אז זה יכול להיות כל מספר

 

[Always Believing]

אלו הם פרמטרים...

את צריכה להגיע לאיזשהי תוצאה עבור מקרה כללי, כאשר האותיות מציינות לך מספרים שתוכלי להציב עבור כל נתון שיתנו לך. אגב, הרבה הרבה מזל"ט...

 

[amitush26]

דהה..... לא?

אני בכיתה ו' אנחנו לומדים את הדברים האלה...........

 

[Always Believing]

אז למה שאלת על אינסוף?!

 

[אמיר96]

../images/Emo62.gif

אני מסמן את אלפא = ארקוטנגס השורש השלישי של D חלקי H. האורך המקסימלי של הסולם הוא: D חלקי סינוס אלפא + H חלקי קוסינוס אלפא. יכול להיות?

 

[אמיר96]

צריך להיות

D חלקי קוסינוס אלפא + H חלקי סינוס אלפא.

 

[daywalker]

יש מצב לציור?

 

[אמיר96]

הסבר

אני לא יכול לצייר אבל אני אסביר את הדרך. תחילה אתה ממקם את הסולם במקביל לריצפה, בגובה H, כך שהוא יגע בחלק שלו בתקרה של הדלת(הסיבה שהוא בגובה H היא בגלל שככל שהגובה יהיה נמוך יותר הרצפה תהיה קרובה יותר ויהיה קשה יותר להכניס את הסולם). אפשר לומר שבמצב הזה הזוית בינו לבין הרצפה היא 0. על ידי כך שתסובב אותו אתה רוצה להגיע לכך שהזוית בינו לבין הרצפה תהיה 90, כך שיהיה מאונך לרצפה . אתה מתחיל לסובב את הסולם, אם הסולם נוגע בשלב כלשהוא ברצפה, אז אתה מזיז אותו למעלה על הישר המחבר בין הרצפה לקיר באותה זוית ספציפית שהסולם נמצא בה, ואז ממשיך לסובב. מתי תתקע? אם לא תוכל להזיז אותו יותר, וזה יקרה אם אורך הישר המחבר את הרצפה עם הקיר יהיה קטן מאורך הסולם. נכתוב את אורך הישר המחבר את הרצפה עם הקיר כתלות בזוית של הישר (זוית אלפא). לפי טריגונומטריה זה יוצא H חלקי סינוס אלפא + D חלקי קוסינוס אלפא. מה שמעניין אותנו זה האם כאשר אורך הישר מינימלי, הוא עדיין גדול מאורך הסולם. נגזור לפי אלפא ונקבל את אלפא במונחי H ו D, וכך קבלנו את הפתרון.

 

[אמיר96]

הכוונה כמובן

נגזור ונשווה ל0.

 

[amitush26]

../images/Emo12.gif

אני המומה. יש תרגום לעברית איפשהו?

 

[djdror]

../images/Emo6.gif

זה עברית מותק. אבל לא לומדים את זה בכיתה ו'.

 

[maersk]

ניסיון יפה, אבל...

לא מספקת. גם אני חשבתי כך בתחילה אבל ברגע שצד אחד מהסולם בחוץ וצד השני נוגע בקיר מול הדלת ואיפשהו באמצע הסולם נוגע בחלק עליון של הדלת, אז הסולם נתקע. לכן הוא לא ייכנס כולו.

 

[maersk]

סליחה!!!! טעות שלי

תתעלמו ממה שכתבתי מקודם.. זה לא נוגע למה שכתבת.. נדמה לי שהפתרון שלך נכון.. אבל אני פתרתי את זה בצורה שונה לחלוטין...

 

[אמיר96]

מעניין יהיה לראות את הפתרון שלך

 

[טלמון סילבר]

האם צריך להתעלם גם

מרוחב הסולם ומרוחב הדלת?

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif היגעתי לתשובה הבאה:

L = [ D^(2/3) + H^(2/3) ] ^ (3/2)​

אם יהיה לי זמן אפרט איך היגעתי לתוצאה הזאת, ובתקווה שלא טעיתי באיזשהו מקום בחישובים...

 

[1אברהם]

../images/Emo127.gif

בכל אופן גם לי יצאה תשובה כזו . בהתחלה יצאו לי ביטויים ארוכים יחסית עם חזקות של 2/3 והתיאשתי, ואז ראיתי את הפתרון שלך והחלטתי לנסות עוד והצלחתי לחלץ את L וקיבלתי את אותו פתרון.

 

[טלמון סילבר]

גם אני ניסיתי מספר פעמים

והתקבלו ביטויים ארוכים עם חזקות 2/3

אז בשביל זה יש אוטובוס: בדרך למשרד ניסיתי משתנה קצת אחר - זווית "הבסיס" - ואז הנגזרת נותנת סינוסים, והתוצאה מתקבלת יחסית בקלות.

 

[1אברהם]

הסבר קצר+ציור

הגובה h ניתן לביטוי

h=(L-D/cos(a))*sin(a)​

גוזרים לפי הזווית a ומשווים ל0 כדי למצוא את h המכסימלי (=H ) ומקבלים ש

cos(a)=(D/L)^1/3​

עכשיו "רק" נשאר להציב זאת במשוואה הראשונה ולחלץ את L כתלות ב H ו D