חידה נחמדה

[snogal]

חידה נחמדה

מה דעתכם על החידה הבאה

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif ניסיון - גרסה אפשרית.

f(x) = -x (if x>0) f(x) = -1/x (if x<0)​

והפונקציה אינה מוגדרת עבור x=0.

 

[snogal]

קבל ../images/Emo127.gif למרות שזו לא הייתה הכוונה

המקורית שלי , הפתרון שאני מכיר הוא נכון לכל x. אבל בכל מקרה יפה מאד , על פתרון יפה כזה ממש לא חשבתי.

 

[snogal]

בעצם |מבוהל|

אין סיכוי שגם הפונקציה שלי מuגדרת לאפס אם יש

1/x​

|דופקאתהראשבמסך|

 

[טלמון סילבר]

חשבתי שאמורים להיות הרבה

פתרונות. תוכל לשלוח לי את הפתרון שלך במסר אישי (כדי שאחרים ימשיכו לחפש)? האם אפשר למצוא את כל הפתרונות? עבור e בחזקת x מצאנו בזמנו את הפתרון הכללי, שהוא די מופשט, ולא כלם אהבו אותו (את הפתרון הכללי). החידה היתה: ((f(f(x שווה e בחזקת x, צריך למצוא את (f(x.

 

[Belgarath]

../images/Emo62.gif אם מותר

מרוכבים אז:

f(x) = x^i​

ואכן פונקציה זו לא מוגדרת ב- 0.

 

[snogal]

בדיוק מה שחשבתי עליו ../images/Emo127.gif../images/Emo127.gif../images/Emo127.gif../images/Emo127.gif

 

[טלמון סילבר]

אתם בטוחים שזה מוגדר עבור כל

מספר מדומה x? אגב, בחידה שהיצעתי על e בחזקת x, הכוונה לפונקציה ממשית.

 

[Belgarath]

לפחות ככה אני למדתי:

ההגדרה למרוכבים של: x^z היא:

x^z = e^(z*log(x)) = e^[z*(ln

+iArg(x)+2πk)]​

כלומר מוגדר בכל המישור המרוכב המנוקב (כמו שהמתרגל שלי אהב לומר).

 

[Belgarath]

../images/Emo128.gif = ערך מוחלט של x ../images/Emo3.gif

 

[טלמון סילבר]

ר' פירוט ההערה מתחת ל-../images/Emo128.gif ( ../images/Emo13.gif )

 

[טלמון סילבר]

בעיקרון לא כל כך מוגדרת

פונקציה a בחזקת b כאשר שניהם מתחום כל המספרים המרוכבים (להלן: חוץ מ-a=0). נניח שנגדיר:

a^b = exp(b*Ln(a))​

שהיא פונקציה רב-משמעית. נגיד שהגדרנו עבור כל המספרים המרוכבים a ענף חד משמעי כלשהו של הפונקציה הרב-משמעית Ln, ובאופן זה הגדרנו עבור כל המספרים המרוכבים a פונקציה חד-משמעית a בחזקת i. האם אנו יכולים להיות בטוחים, שהגדרה זו תבטיח לנו שעבור כל a מתקיים:

(a^i)^i = a^(-1)​

אינני יודע את התשובה. אולי כן. אתם יודעים?

 

[Belgarath]

צודק

באמת הזהות כבר לא נכונה, יוצא (אם לא טעיתי בחישוב):

(a^i)^i = (e^2πk)/a​

כלומר יש הרבה פתרונות חוץ מ- a^-1.

 

[ycyclop]

שלום + פתרון

גיליתי את הפורום היום ואני מנסה את כוחי בחידה זו. הפתרון לפי דעתי הוא f(x) = x^i i^2 = -1 (למי שלא זוכר)