חידה נחמדה

[איתמר ש]

חידה נחמדה

(מקווה שעוד לא שאלו את זה) ----------------------------- נמצאה מגילה עם הוראות למציאת אוצר, ובה נכתב:

"שוט לאי זנקאלי, שנמצא במקום זה וזה באוקיאנוס השקט. האי אינו גדול, ועליו נמצאים: עץ בננה, עץ קוקוס, ותותח. עמוד ליד התותח, ולך אל עץ הבננה תוך שאתה מודד את המרחק שאתה עובר. כשתגיע לעץ פנה 90 מעלות ימינה, ולך שוב את אותו המרחק שעברת מהתותח עד לעץ הבננה. סמן את הנקודה שהגעת אליה. חזור אל התותח. עמוד שוב לידו, ולך אל עץ הקוקוס. כשתגיע לעץ פנה 90 מעלות שמאלה, ולך שוב את אותו המרחק שעברת מהתותח עד לעץ הקוקוס. סמן את הנקודה שהגעת אליה. מתח חבל בין שתי הנקודות שסימנת. האוצר נמצא מתחת הנקודה שבאמצע החבל המתוח"

. מיד לקחו ספינה, שטו אל האי זנקאלי, ירדו לחוף, ו- התברר שהתותח נסחף ע"י הגאות לפני שנים רבות. נשארו באי רק עץ בננה ועץ קוקוס. איך ימצאו את האוצר?

 

[חציל בראש מהפכה]

../images/Emo62.gif

הם צריכים לקשור חבלים בשני העצים, למתוח את החבלים עד שיפגשו אחד עם השני עכשיו הם צריכים למדוד אם ה"משולש" שיצרו מהחבלים הוא שווה שוקיים (חבל 1 = חבל 2) היכן שהם נפגשו עמד התותח, לא משנה מאיזה צד, הם במילא פונים 90 מעלות לאותו כיוון בדיוק בשני המקרים מקווה שצדקתי..

 

[Grimble Grumble]

איפה כתוב

שהמרחק בין התותח לכל אחד מהעצים הוא שווה?

 

[Grimble Grumble]

../images/Emo62.gif

בגלל שזה 90 מעלות, ובכל פעם זה לכיוון נגדי (שמאלה בקוקוס, ימינה בבננה) למעשה מיקום התותח לא משנה כלל... לכן מה שהם צריכים לעשות הוא פשוט מאד לקבוע באופן שרירותי נקודה, וממנה לבצע את ההוראות... לא משנה מה מיקום הנקודה שהם יבחרו לתותח, התוצאה תשאר זהה תמיד...

 

[thrall]

לא נכון

 

[Grimble Grumble]

זה נכון מאד

מיקום התותח לא רלוונטי...

 

[טלמון סילבר]

הערה.

ברור שהכוונה לפתרון הזה (שלא משנה איפה התותח, ולכן אפשר לקבוע אותו בנקודה שרירותית כלשהי). אבל להשלמת הפתרון, נראה לי, צריך להוכיח את התכונה הזאת.

 

[mili999]

../images/Emo45.gif

 

[מילקמן]

מצאתי בעיה שקולה

אך לא את הפתרון והבעיה: נתון קטע אמצעים במשולש (זהו הקטע שבין הבננה לקוקוס) (קודקוד המשולש - התותח) היכן יכולה להמצא אמצע הצלע המקבילה לקטע אמצעים זה.

 

[מילקמן]

או שלא

זה לא נכון אבל קרוב

 

[מילקמן]

ניחוש

להעביר אנך אמצעי בין הבננה לקוקוס ולחפור לאורך כל האנך. (האי קטן אז אין הרבה לחפור)

 

[Grimble Grumble]

שוב פעם הנחה שגויה

אף אחד לא אמר שהמרחק בין התותח לכל אחד מהעצים שווה... מיקום התותח לא רלוונטי וזהו... אין פה מה לחשוב יותר מדי...

 

[מילקמן]

מממ

אין נקודה מסויימת שבה האוצר יכול להיות יש איזה קו או אזור ששם צריך לחפור

 

[רובורועי]

לא נכון..

קח נייר ועיפרון (עדיף נייר משבצות) כעת צייר את תיאור החידה כאשר אתה בוחר נק' כלשהי כנק' המוצא (התותח) כעת בחר כל נק' אחרת על הדף ומדוד משם את המרחקים, להפתעתך תגלה כי נק' האמצע לא השתנתה...

 

[טלמון סילבר]

הקפצה

כי החידה נחמדה, וחבל אם תישכח. צריך להוכיח שמיקום האוצר אינו תלוי במיקום התותח, או משהו כזה.

 

[Belgarath]

../images/Emo62.gif חלקי וקצת מסובך

נפעל בדרך הבאה: נמצא את המרכז על הקו המחבר בין עץ הקוקוס לעץ הבננה. ונניח ששם היה התותח ונלך לפי ההוראות. נקבע את הנקודה אליה הגענו (לאחר ביצוע ההוראות) כראשית הצירים (0,0) ונסמן עץ קוקוס כנקודה (a,a-) ואת עץ הבננה כנקודה (a,a). כעת כדי להוכיח שב- (0,0) נמצא האוצר: נבחר נקודה שרירותית כלשהי (x1,y1) - ונניח שבה היה התותח. נבצע את ההוראות מנקודה זו ונגיע בסוף לשתי נקודות: מהבננה ל: (b,c) ומהקוקוס ל- (d,e). נותר להראות שמרכז הקו המחבר בין שתי הנקודות הוא (0,0) שזה קורה רק אם:

b = -d and c = -e​

אחרי כמה חישובים הגעתי ל- 4 משוואות:

(a-x1)^2 + (a-y1)^2 = (a-b)^2 + (a-c)^2 (a+x1)^2 + (a-y1)^2 = (a+d)^2 + (a-e)^2 c-a = (x1-a)*(b-a)/(a-y1) e-a = (x1+a)*(d+a)/(a-y1)​

שתי הראשונות נובעות משוויון מרחקים והאחרונות ממשוואות שני ישרים. (מצטער שאין שרטוט). בכל מקרה הפתרון:

b = -d c = -e​

הוא פתרון ל-4 המשוואות ואינו תלוי ב- x1 וב- y1 ולכן לכל x1 y1 שנבחר נגיע לראשית - לאוצר. הבעיה בהוכחה זה שלא היה לי כח לפתור ממש את 4 המשוואות אלא להציב פתרון ולכן יכול להיות שיש עוד פתרון למשוואה שלא מקיים זאת - אם מישהו רוצה לפתור את המשוואות ... בכיף.

 

[Belgarath]

../images/Emo62.gif משהו יותר טוב

כל הסימונים והדרך כמו בתשובה הקודמת. רק לא נגיע למשוואות המסובכות הנ"ל. (בנוסף לא צריך את סימוני: b,c,d,e). לפתרון אשתמש בוקטורים ובמכפלה וקטורית - כמובן הכל בתלת מימד. נסמן u - הוקטור בין עץ הבננה לנקודה (x1,y1) הוא: (x1-a, y1-a,0) נסמן ה - הוקטור בין עץ הקוקוס לנקודה (x1,y1) הוא: (x1+a, y1-a,0) הוקטור בין עץ הבננה לנקודה אליה נגיע אחרי ביצוע הפעולה - הליכה מ- (x1,y1) לעץ בננה - פניה בזוית ישרה ימינה והליכה מרחק שווה. וקטור זה הוא בעצם מכפלה וקטורית של הוקטור (0,0,1) לוקטור u. והנקודה הסופית היא:

(0,0,1)x(x1-a,y1-a,0) + (a,a,0) = (2a-y1,x1,0) = r​

והנקודה הסופית (באופן דומה) עבור עץ הקוקוס:

(0,0,-1)x(x1+a,y1-a,0) + (-a,a,0) = (y1-2a,-x1,0) = t​

וברור שמרכז הקטע t-r הוא בראשית.

 

[Belgarath]

שרטוט

בנוסף - בהודעה הקודמה: במקום נסמן ה -> נסמן v. הקטע t-r הוא הקטע האדום בציור

 

[Belgarath]

אופס

u ו- v עכשיו בכיוון הנכון. (חיצים היו קודם הפוכים.

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo45.gif כל הכבוד ../images/Emo70.gif

לא ניסיתָ למצוא הוכחה "אלמנטרית" (בהנדסה בסיסית)?