חידה נוספת

[חיים הכט הצדיק]

חידה נוספת

תנו מפסר משוכלל הקטן ביותר שהוא לא שש

 

[djdror]

הגדר בבקשה, מהו מספר משוכלל??

 

[לתומי יש אקדח ביד]

מספר משוכלל הוא מספר אשר

מורכב ממספרים שגם הכופלים שלו וגם המחלקים שלו שווים: למשל 6 1+2+3=6 1*2*3=6

 

[לתומי יש אקדח ביד]

גם הכופלים וגם המחברים ../images/Emo3.gif

 

[Angel O F life]

../images/Emo62.gif אולי....

4 2*2=4 2+2=4

 

[חיים הכט הצדיק]

כניראה לא ניסחתי נכון גדול מ6

וכמובן גם כמה שיותר קטן......

 

[metalbitch]

.............................

יש בכלל מספר כזה? כי ככל שהמספרים הולכים וגדלים, כך הכופלים שלהם קטנים מדי מכדי להיות גם המחברים שלהם...

 

[נשר בלי כנפיים]

יש

בזמנו כשלמדתי פסקל לפני שנתיים אחד התרגילים היה תוכנה שתמצא מספרים משוכללים. אבל אני לא זוכר מה המספרים שיצאו רק שיצאו.

 

[לתומי יש אקדח ביד]

רגע אני לא בטוח שהמחברים והכופלים

חייבים להיות שווים כאילו העיקר שהם יגיעו לאותו מספר... או שהם כן חייבים להיות שווים חחח אני לא זוכר עכשיו מאוחר מדיי מחר אני מבטיח לבדוק

 

[flecktor]

1 אינו גורם של 6

 

[קלארק מקפליי]

../images/Emo62.gif

28

 

[sexylady1986]

../images/Emo62.gif

8 ? 1+1+2+4=8 1*1*2*4=8

 

[F o o B a r]

יכול להיות שאתה מתכוון

למספרים המושלמים של פיטגורס? כי אם כן אז ההגדרה שלך לא מוצלחת...

 

[טיקטי1]

הגדרה למספרים משוכללים-

מאלף אפס- הוא מספר טבעי השווה בדיוק לסכום מחלקיו הקטנים ממנו (במונחים שלנו, מספר משוכלל הוא בעצם רֵעַ של עצמו, כלומר נרקיסיסט...). המספר המשוכלל הראשון הוא 6, וזה שלאחריו לדוגמא עבור 6 6=3*2 6=6*1 6=1+3+2 כלומר הוא מספר משוכלל

 

[נ פ ו ל י א ו ן]

מספרים משוכללים

נקראים גם מספרים מושלמים, כי באנגלית הביטוי הוא Perfect Numbers. ההגדרה של מספר משוכלל היא: מספר השווה לסכום מחלקיו הטבעיים (פרט, כמובן, לעצמו). למשל: 6 הוא משוכלל, כי מחלקיו הם 1, 2 ו- 3, ומתקיים 1+2+3 = 6. 28 הוא משוכלל, כי מחלקיו הם 1, 2, 4, 7 ו- 14, ומתקיים: 1+2+4+7+14 = 28. המספר המשוכלל הבא הוא 496. כל המספרים המשוכללים הידועים עד היום, מתקבלים מהנוסחא הבאה:

2^(N-1) * (2^N - 1)​

אם הביטוי שבסוגריים מימין (החזקה של שתיים, פחות 1) הוא מספר ראשוני. למשל, עבור N = 2 מקבלים בסוגריים את הערך 3 שהוא ראשוני, ולכן תוצאת הנוסחא תתן מספר משוכלל - את 6. כך גם לגבי N=3, כי שתיים בשלישית פחות אחת זה שבע, שהוא ראשוני, והצבה מלאה בנוסחא תתן 28. N=4 לא מתאים, כי שתיים ברביעית פחות אחת זה 15, לא ראשוני, אבל עבור N=5 זה מתאים (מתקבל 496) וכו'. דבר מעניין הוא שעד היום לא הצליחו להוכיח שבאמת כל המספרים המשוכללים הם תוצאה של הנוסח הזו, ככה שיש כאן אתגר מעניין לפותרי החידות בפורום... אגב, המספרים האלו העסיקו לא מעט את ידידנו פיתגורס, וניתן לקרוא עליהם בצורה ידידותית ופשוטה בספר "המשפט האחרון של פרמה".

 

[טלמון סילבר]

היגעתי בערך לתוצאות אלו

נניח שהמספר המושלם n שווה למכפלת הגורמים הראשוניים הבאים:

n = Π{i=1,2,...,m}p_i^q_i​

אזי סכום כל הכופלים שלו כולל הוא עצמו שווה:

Π{i=1,2,...,m}(1 + p_i + p_i^2 + . . . + p_i^q_i)​

כלומר, מספר טבעי יהיה מושלם, כאשר ורק כאשר גורמיו הראשוניים מקיימים את התנאי הבא:

Π{i=1,2,...,m}(1 + p_i + p_i^2 + . . . + p_i^q_i) = 2Π{i=1,2,...,m}p_i^q_i​

בדקתי את המקרה הפשוט ביותר:

m = 2 q_1 = k q_2 = 1 n = (p_1^k)*p2 (1 + p_1 + p_1^2 + . . . + p_1^k)(1 + p_2) = 2(p_1^k)p_2 (p_1^(k+1) - 1)(1 + p_2) = 2(p_1^k)p_2(p_1 - 1)​

מכאן מבודדים את p_2 ובעזרת חקירה פשוטה מקבלים ש-p_1 יכול להיות רק:

p_1 = 2 p_2 = 2^(k+1) - 1​

וכמו שציין נ פ ו ל י א ו ן, נשאר רק לחפש מספרים ראשוניים p_2 מסוג זה, ומתקבלים מספרים מושלמים:

2^1(2^2 - 1) = 2*3 2^2(2^3 - 1) = 4*7 2^4(2^5 - 1) = 16*31 2^6(2^7 - 1) = 64*127​

וכדומה. אמנם במקרה "הכללי הפרטי" הזה קיים פתרון "נוסף" (

):

k = 1 p_1 = 3 p_2 = 2​

שהוא כמובן לא "נוסף".