חידה מתמטית

[ןן גיל ןן]

חידה מתמטית

יש לחשב את ערך הביטוי שבתמונה, כפונקציה של n.

 

[טלמון סילבר]

חידת המשך

למה שווה הביטוי הנ"ל, אם נחליף את i^n ב- x-i)^n) ?

 

[עריסטו]

../images/Emo62.gif הדרכה

בנו מעין "משולש פסקל", כך: השורה הראשונה היא a b c d e f ... z בשורה השניה והלאה, כל מספר הוא הפרש המספרים שמעליו, כלומר השורות הראשונות מתחילות כך:

a b c d e b-a c-b d-c e-d c-2b+a d-2c+b ... d-3c+3b-a...​

כעת - הציבו במקום המספרים a,b,c,d שבשורה הראשונה את החזקות החמישיות, למשל, של המספרים הטבעיים, כלומר a=1 b=32 c=243 d=1024 וכן הלאה. באיזו שורה במשולש כל המספרים שווים? מהו המספר שכל איברי השורה שווים לו? השוו את הנוסחה של איברי השורה הזו למספר הזה.

 

[עריסטו]

מהצבת x=0

מקבלים את הפתרון של יאיר של תמר לבעיה המקורית.

 

[יאיר של תמר]

ובכן...

האם זה zzz (-1)^n * n! zzz

 

[ןן גיל ןן]

../images/Emo127.gif לכולם

יש לי הוכחה שונה לחלוטין, המשתמשת בטורי חזקות.

 

[טלמון סילבר]

אז למה שלא תציג אותה?

גם ההוכחה שלי (למקרה הכללי יותר, כפי שכתבתי, עבור x-i במקום i) קצת שונה. הביטוי הוא אכן "ההפרש ה-n-י" כפי שצייר עריסטו, ולפי משפט לגרנז' המורחב הוא שווה לנגזרת ה-n-ית, השווה !n, כפול ההפרש בחזקת n, שזה במקרה שלנו שווה 1.

 

[ןן גיל ןן]

ובכן:

נתבונן בפונקציה

f(x)=(1-e^x)^n​

נחשב את הנגזרת ה n-ית של f בנקודה x=0, בשתי דרכים: 1) מכיוון שהפיתוח של הפונקציה מתחיל ב- x^n * -1^n, נגזרת זו היא (1-) בחזקת n כפול !n. 2) נפתח את f(x) zzz ע"פ נוסחת הבינום ונגזור כל מחובר n פעמים. אחרי שנציב x=0 יתקבל הביטוי המקורי.

 

[טלמון סילבר]

נחמד ../images/Emo45.gif

 

[טלמון סילבר]

מעניין,

מה עוד אפשר להפיק מהטריק הזה. אולי על ערכים אחרים של x? נניח לוגריתם של משהו?

 

[עריסטו]

מעניין האם יש לזה הוכחה

קומבינטורית, כלומר האם ניתן להכפיל את הביטוי ב -zzz (-1)^n zzz ולהסביר למה הוא מונה את מספר התמורות של n עצמים.

 

[ןן גיל ןן]

צודק! יש הוכחה כזו

נסמן ב- A את הקבוצה 2,1,..,n. תהי B קבוצת כל הפונקציות מ- A ל- A (בגודל n^n). תהי B_i קבוצת הפונקציות מ- A ל- A שהמספר i אינו בטווח שלהן. תהי C קבוצת התמורות על n איברים. אז: C היא המשלים של איחוד הקבוצות B_i (כי פונקציה ב- B היא תמורה אמ"ם היא על). הפעלת נוסחת ה inclusion-exclusion נותנת את הנוסחה שלנו.

 

[עריסטו]

ספר על הוכחת זהויות קומבינטוריות

http://www.math.upenn.edu/%7Ewilf/AeqB.pdf