חידה מתמטית

[טלמון סילבר]

חידה מתמטית

סדרה מוגדרת כך:

a[0] = 0 a[n+1] = a[n] + e^(-a[n])​

מה ניתן לומר על "התנהגותה" כאשר n שואף לאינסוף?

 

[RichardSmith]

בוא נראה...

a0=0 a1=1 a2=1.36879 a3=1.62252 a4=1.8199​

אני מהמר על שאיפה לאינסוף. אנסה לתכנת את זה בג'אווה.

 

[RichardSmith]

התוכנה אומרת...

public class e { public static void main(String[] args) { double x=0; for(int i=0;i<20000;i++){ x=x+Math.exp(-x); System.out.println(i+") "+x); } } } 19996) 9.903649642583698 19997) 9.903699634479853 19998) 9.90374962387688 19999) 9.90379961077503​

נראה שזה ממשיך לאינסוף, אם כי בצורה איטית.

 

[איייייל]

טוב

לא קשה להוכיח שהסדרה שואפת לאינסוף - אם נניח בשלילה שלא, אז היא שואפת למספר חיובי כלשהו L (כי היא מונוטונית), ואז ניקח גבול משני הצדדים ונקבל L=L+exp(-L), וזו סתירה.

 

[טלמון סילבר]

כמובן ../images/Emo13.gif

מה עוד אפשר לומר עליה?

 

[RichardSmith]

היא רקורסיבית? ../images/Emo3.gif

 

[טלמון סילבר]

מכיוון שזה לא פורום מתמטיקה,

נסה קודם לנחש (למשל בעזרת המחשב) איך הסדרה שואפת לאינסוף, ואח"כ נסה למצוא הוכחה מתמטית לכך.

 

[RichardSmith]

זה היה בשבילי או בשביל איייייייייל?

 

[טלמון סילבר]

זה בעיקרון בשביל כולם,

אם כי התכוונתי להגיב ישירות להודעה שלך, וקצת פספסתי בשרשור.

 

[RichardSmith]

Viva la'democracy!

 

[RichardSmith]

מכיוון ש...

חיבור האיבר הקודם בסדרה עם e בחזקת האיבר הקודם במינוס יתנו תוצאה גדולה מאחת, הסדרה תתבדר. אני לא מוצא שום ייחוד לסדרה.

 

[טלמון סילבר]

המממ

ההסבר שלך אינו מובן (להבדיל מההסבר הפשוט של איייל). אז טוב, כבר אמרנו שהסדרה שואפת לאינסוף. עכשיו השאלה היא, באיזה סדר-גודל היא שואפת לאינסוף? דווקא לא קשה לנחש את זה, בעיקר בעזרת מחשב. מעניין יותר: להוכיח שזה נכון (גם לא מי יודע מה).

 

[RichardSmith]

אני לא חושב שלמדנו סדרי גודל...

 

[ןן גיל ןן]

ובכן:

מנוסחת הרקורסיה נובע שככל ש- An גדל, ה"צעד" אל האיבר הבא קטן: A_n+1-A_n = e^-(A_n) zz לכן, למשל, על מנת להגיע מ- 1000 ל- 1001 מספר הצעדים שיידרש הוא לכל הפחות e^1000 (כי כל צעד קטן מ- e^-1000) ולכל היותר e^1001 (כי כל צעד גדול מ- e^-1001). מכאן אפשר לחסום משני הכיוונים את מספר הצעדים אל כל מספר נתון x, והוא (עד כדי קבוע) e^x. לכן גידול הסדרה הוא גידול לוגריתמי.

 

[עריסטו]

מעין הוכחה

הסדרה מתבדרת בערך כמו סכום הסדרה ההרמונית, כי בסדרה ההרמונית סכום n האיברים הראשונים הוא בערך lnn, כלומר לאיבר שערכו lnn מוסיפים 1 חלקי n לקבלת האיבר הבא, ו - 1 חלקי n זה e בחזקת lnn-. כלומר אני משער שיש קבוע k כך שהאיבר ה-n-י בסדרה שנתת פחות lnn שואף ל - k.

 

[טלמון סילבר]

ניסוח חדש של החידה.

מכיוון שהניחוש כמובן נכון, הסדרה שואפת לאינסוף "כמו (ln(n", ננסח אותה עכשיו כך: צריך להוכיח ש:

lim[ a[n] / ln ] = 1​

ואם אפשר, אז גם למצוא את:

lim[ a[n] - ln ] = ?​

בעיקרון, זה לא מסובך.

 

[ןן גיל ןן]

פתרון לא מפורט

השיטה שכתבתי בהודעה הקודמת נותנת את הגבול הראשון. כעת, e^-(a[n]-ln) = n * e^-a[n] = n * (a[n+1]-a[n]) zz מהגבול הקודם, נוכל להחליף את a[n+1] zzz ב- ln (n+1) zz ואת a[n] zz ב- ln zz (שוב, חסרה כאן הוכחה מפורטת אך עד כמה שבדקתי זה ניתן לביצוע) - ומתקבל ש- lim e^-(a[n]-ln) = lim n *(ln(n+1)-ln n) = lim ln((1+1/n)^n) = ln e = 1 לכן lim a[n]-ln n = 0.

 

[טלמון סילבר]

נחמד, פתרון "רעיוני".

יש גם פתרון פורמלי "יבש" לא מסובך.

 

[ןן גיל ןן]

אשמח לראותו

 

[טלמון סילבר]

יהי

b[n] = e ^ a[n] a[n] = ln(b[n]) b[n+1] = b[n] e ^ (1/b[n]) :שטולץ lim { [ b[n+1] - b[n] ] / [ (n+1) - n ] } = = lim { b[n] [ e ^ (1/b[n]) - 1] } = = lim { [ e ^ (1/b[n]) - 1] / ( 1/b[n]) } = 1​

וכו'. זה שנתן לי את החידה אינו אוהב את שטולץ. הוא שלח לי פתרון בלי שטולץ.