חידה מתמטית

[עריסטו]

חידה מתמטית

הוכיחו: אם a ו- b הם מספרים טבעיים והמספר

(a^2+b^2)/(ab+1)​

שלם, אזי הוא ריבוע של מספר שלם.

 

[Renatius Cartesius]

החידה הקטנה הזאת שלך...

משגעת אותי(מאוד!)

 

[Renatius Cartesius]

תגלה את הפתרון...

בבקשה...

 

[עריסטו]

../images/Emo58.gif פתרון בקובץ המצורף

 

[Renatius Cartesius]

מאיפה...

הבאת את c?

 

[עריסטו]

בשורה הראשונה בפתרון

כתוב שוויון. אם רואים אותו כמשוואה ריבועית בה הנעלם הוא a, יש למשוואה שני פתרונות. אחד הוא a, ואת הפתרון השני אני מסמן c.

 

[טלמון סילבר]

חידת המשך (הרבה יותר קלה)

בניסוח השאלה נאמר: "אם הביטוי הנ"ל מספר שלם, אזי..." שאלה: האם קיים זוג מספרים טבעיים a ו-b, עבורם הביטוי הנ"ל הוא מספר שלם (שבמקרה זה יהיה גם ריבוע של מספר שלם)? כמה זוגות כאלה ישנם? האם אפשר להצביע על סדרה אינסופית של זוגות כאלה? אני מזכיר שוב: זו חידה קלילה ביותר, אין מה להשוות לחידה המקורית. שאלה קשה יותר: האם אפשר להצביע על כל הזוגות הללו?

 

[mor48]

נסיון

קימים אין סוף למשל כאלו a=b^3 לכל B טבעי אפשר אולי להכליל כך: a=k*t^3 b=t*p ((kt^2)^2+p^2))/(ab+1)=1 dd

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo127.gif להתחלה, את ההמשך לא הבנתי.

 

[mor48]

הסבר להכללה

(a^2+b^2)/(2a+1) = שלם במקרה ש הם זרים אין פתרון חייבים לקבל ש a=t*k^3 b=p*k t,p טבעיים במקרה זה חייב להתקיים (t^2*k^4+p^2)/(ab+1)=1 מקווה שזה ברור​

 

[טלמון סילבר]

לצערי, לא הבנתי שום דבר

(a^2+b^2)/(ab+1) = שלם במקרה ש הם זרים אין פתרון לא הבנתי מדוע, אבל נעזוב את זה חייבים לקבל ש a=t*k^3 b=p*k t,p טבעיים לא הבנתי מדוע "חייבים" לקבל את זה, אבל נעזוב גם את זה במקרה זה חייב להתקיים (t^2*k^4+p^2)/(ab+1)=1​

מה זאת אומרת "חייב להתקיים"? עבור כל t,p טבעיים? הצבה פשוטה מראה שלא. האם עבור אלו-שהם t,p טבעיים? אבל אם לא אמרנו עבור אלו, אז לא ענינו על השאלה בנוגע למקרה הכללי.