חידה מתמטית

[עריסטו]

חידה מתמטית

האם נכונה הטענה הבאה: לכל n ו - k טבעיים, מספר הדרכים להביע את n כסכום k מספרים טבעיים שווה למספר הדרכים להביע את n כסכום מספרים טבעיים שהגדול ביניהם שווה ל - k. דוגמה - n=5, k=3: כל הדרכים להבעת n כסכום k מספרים טבעיים - 1+1+3 1+2+2 סך הכל שתי דרכים. כל הדרכים להבעת n כסכום מספרים טבעיים שהגדול ביניהם שווה ל - k - 2+3 1+1+3 ושוב - שתי דרכים. כלומר במקרה n=5, k=3 הטענה נכונה.

 

[עריסטו]

../images/Emo208.gif

 

[תה צמחים]

תשובה

אם הבנתי נכון, אז לא. נניח k=2, n=7. הבעת n כסכום k מספרים טבעיים 1+6 2+5 3+4 הבעת n כסכום מספרים טבעיים כשk הוא הגדול 1+1+1+1+1+2 ומכיוון ש1 לא שווה 3, זה לא נכון.

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif

הבעת n כסכום מספרים טבעיים כאשר k הוא הגדול 1+1+1+1+1+2 1+1+1+2+2 1+2+2+2

 

[עריסטו]

זאת חידה קלה... ../images/Emo12.gif

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif תשובה

הטענה נכונה. "כל הדרכים להבעת n כסכום k מספרים טבעיים" = "כל הדרכים להבעת n-k כסכום k מספרים שלמים לא שליליים". ניקח דרך אחת כזאת, לפי ההגדרה השנייה. יש לנו k מספרים שלמים לא שליליים. ניקח סדרה אינסופית, שכל אבריה... שווים 0. ניקח את המספר השלם הראשון מתוך ה-k שלמים לא שליליים, וזו תהיה כמות האברים מהסדרה, החל מהראשון, שנוסיף להם 1. ניקח את המספר השני מתוך ה-k הללו, וזו תהיה כמות האברים מהסדרה שהוספנו להם עוד 1. וכו'. נשאיר בסדרה שהתקבלה רק את האברים השונים מ-0. סכומם שווה n-k, והגדול ביותר אינו גדול מ-k. נוסיף לסדרה זו איבר נוסף השווה k, וסכום כולם שווה עכשיו n. קיבלנו דרך לבטא את n כסכום של מספרים טבעיים שהגדול מהם שווה k. די ברור שבאופן זה אנו מכסים הכל בשני הכיוונים.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif זה נכון, אבל אני

התכוונתי להוכחה הפשוטה הבאה: אסביר על ידי דוגמה - את המספר 20 ניתן להביע כסכום ארבעה מספרים טבעיים למשל כך: 12+6+3+1 ואת הסכום הנ"ל ניתן להציג כך:

ובמקום לקרוא את הציור שורה אחרי שורה - ניתן לקוראו טור אחרי טור, ולכן...

 

[עריסטו]

במקום 20 צ"ל 22

 

[עריסטו]

זה יוצא אותו דבר כמו מה שכתבת

רק שכך ברור יותר

 

[טלמון סילבר]

נחמד ../images/Emo13.gif

ושוב: המהות היא אותה המהות! אבל ככה כמובן יפה יותר.