חידה מתמטית - ab=cd

[עריסטו]

חידה מתמטית - ab=cd

הוכיחו: אם a,b,c,d הם מספרים טבעיים כך ש - ab=cd אזי a+b+c+d אינו ראשוני.

 

[niv1990]

הבנתי נכון?

כי אם כן אני חושש שזה קל מדי... אם הסכון של כולם יכול להיות גם הסכום של שני מספרים שווים אז הוא בהכרח מתחלק ש2. חח עכשיו בו נראה איפה שגיתי

 

[FuryUri]

טעותך היא:

אם הבנתי אותך נכון (מה שהיה די קשה ) זה לא ש ab+cd הוא אינו מספר ראשוני... זה a+b+c+d אינו ראשוני... ולעריסטו: זה חידה הדורשת מתמטיקה מסובכת? משהו מעל השכלה תיכונית?

 

[עריסטו]

זה לא דורש מתמטיקה מסובכת

 

[niv1990]

צודק.. כבר שכחתי מה זה מייצג.

חופש

 

[עריסטו]

אני רואה שלא הבנת משהו

אבל לא ברור לי מה

 

[ןן גיל ןן]

פתרון

נתחיל מ- a * (a+b+c+d) = aa+ab+ac+ad = aa+cd+ac+ad = (a+c)(a+d) ZZ לכן, a+b+c+d = (a+c)(a+d)/a ZZ כעת, מהתנאי ab=cd נובע ש- a מחלק את cd ולכן אפשר לרשום a=mn כאשר m מחלק את c ו- n מחלק את d. מכאן מקבלים a+b+c+d = (a+c)(a+d)/mn = (a+c)/m * (a+d)/n ZZ כאשר שני המספרים בפירוק שהתקבל שלמים וגדולים מ-1. לכן, a+b+c+d מספר פריק.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif + בצורה יותר מסודרת

מהשוויון ab=cd נובע שקיימים m ו - n טבעיים כך ש - a=mn, כאשר m מחלק את c ו - n מחלק את d. לכן ניתן לכתוב c=mp ו - d=nq, כאשר p,q טבעיים. כמו כן:

b=cd/a=mpnq/mn=pq​

לכן:

a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p)​

כלומר a+b+c+d פריק.