חידה לפסח

[דיזוני]

חידה לפסח

מבקשת דרכי פיתרון בליל הסדר סעדו 20 אורחים . כל ילד אכל חצי מצה כל אישה אכלה רבע מצה כל גבר אכל 4 מצות . סך הכל נאכלו 20 מצות . כמה ילדים , כמה נשים וכמה גברים סעדו בליל הסדר ?

 

[regit knup]

תשובה. או שזה ממש קל או שלא הבנתי..

גברים - 3 ילדים - 12 נשים - 8 ובעצם יש מלא אפשרויות....

 

[טלמון סילבר]

יצא לך

סה"כ 23 אורחים, אך נתון שהיו סה"כ 20 אורחים.

 

[regit knup]

לא שמתי לב לנתון הזה, מצטער

 

[דיזוני]

רבותי,

שכחתי לציין שהחידה מיועדת לתלמידי יסודי - עד גיל 12. הם עדיין לא יודעים לפתור נעלמים

 

[טלמון סילבר]

פתרון בלי נעלמים

מכיוון שכל גבר אכל 4 מצות, וסה"כ נאכלו 20 מצות, מספר הגברים יכול להיות: או 0, או 1, או 2, או 3, או 4, או 5. נבדוק את כל האפשרויות הנ"ל. אם היו 0 גברים, אז היו 20 נשים וילדים, שאכלו סה"כ 20 מצות, מה שלא יכול להיות, כל כל ילד וכל אישה אכלו פחות ממצה שלמה. אם היה גבר 1, אז היו 19 נשים וילדים, שאכלו סה"כ 16 מצות, מה שלא יכול להיות, כי כל ילד ואישה לא אכלו יותר מחצי מצה. אם היו 2 גברים, אז היו 18 נשים וילדים, שאכלו סה"כ 12 מצות, וגם זה לא יכול להיות מאותה הסיבה. אם היו 3 גברים, אז היו 17 נשים וילדים, שאכלו סה"כ 8 מצות. אם כל ה-17 היו רק ילדים, הם היו צריכים לאכול סה"כ 8 וחצי מצות, ויש לנו חצי מצה מיותרת. מכיוון שכל אישה אכלה רק רבע מצה, נחליף שני ילדים לשתי נשים, יהיו שני רבעי מצה פחות, כלומר חצי מצה פחות, כלומר 8 מצות בדיוק: 17 ילדים זה 7 וחצי מצות, ו-2 נשים זה ביחד חצי מצה, וביחד זה 8 מצות, וביחד עם 12 המצות שאכלו 3 הגברים אנו מקבלים את 20 המצות שאכלו 20 אורחים. זה הפתרון הראשון. אם היו 4 גברים, אז היו 16 נשים וילדים, שאכלו סה"כ 4 מצות, מה שיכול להיות רק אם כל ה-16 היו נשים, וכל אישה אכלה בדיוק רבע מצה, כי אם נחליף אפילו אישה אחת לילד, אז זה כבר יצא יותר מרבע מצה לאדם, והסה"כ יהיה יותר מ-4 מצות. אם האפשרות שמספר הילדים היה 0 נחשבת ל"חוקית", אז אנו מקבלים כאן פתרון שני: 4 גברים ו-16 נשים, שאכלו 16 מצות ו-4 מצות בהתאם. אם היו 5 גברים, אז הם אכלו את כל המצות, ו-15 הנשים והילדים לא יכלו לאכול את מה שמגיע להם, לכן גם אפשרות זו נושרת.

 

[טלמון סילבר]

למשל כך:

היו: x ילדים, y נשים, z גברים.

:סה"כ היו אורחים x + y + z = 20 :סה"כ נאכלו מצות x/2 + y/4 + 4z = 20​

כללית, לשתי משוואות עם שלושה נעלמים יש אינסוף פתרונות, אבל במקרה הנ"ל מדובר במספרים שלמים בלתי שליליים, ולכן מספר האפשרויות מוגבל.

:נכפיל ב-4 את שני אגפי המשוואה השנייה, כדי להיפטר מהשברים 2x + y + 16z = 80 :נחסר משני אגפיה את שני אגפי המשוואה הראשונה x + 15z = 60​

מכאן אנו רואים, ש-x חייב להתחלק ב-15. ומכיוון שהיו סה"כ 20 אורחים, יש בדיוק שתי אפשרויות למספר הילדים x: או 0, או 15.

:אפשרות ראשונה x = 0 15z = 60 z = 4 y = 20 - 0 - 4 = 16 0/2 + 16/4 + 4*4 = 20​

פתרון ראשון: 0 ילדים, 16 נשים, 4 גברים.

:אפשרות שנייה x = 15 15 + 15z = 60 15z = 45 z = 3 y = 20 - 15 - 3 = 2 15/2 + 2/4 + 4*3 = 20​

הפתרון השני: 15 ילדים, 2 נשים, 3 גברים. אם נתון שהיו בין האורחים גם ילדים, גם נשים וגם גברים, כלומר, המספר של כל אחת מקבוצות אלו גדול מ-0, אז הפתרון הראשון נושר, ונשאר הפתרון השני בלבד.

 

[souhami]

תמיד תהיתי...

איך פותרים משוואה עם שלושה נעלמים תודה על השיעור

ב-4 יח, בכיתה יב' פותרים משוואות עם שני נעלמים ובמקרה הגרוע יש גם שני פרמטרים (איום ונורא אני אומר לכם!)

 

[n s 92]

חחח

בכיתה ט אני פותר משוואות עם שני נעלמים...

 

[souhami]

נכון...

וב-יא'-יב' תפתור עם שני נעלמים ועם שני פרמטרים וכשאני אומר תפתור אני מתכוון "הוכח בהמצעות..." שזה התרגילים שאני הכי שונא סמוך עלי כשאני אומר לך שהמשוואות שאתה פותר הם רק הבסיס וכל מה שאתה לומד ישמש אותך אחר כך רק כאמצעים ודרך למציאת הפתרון.

 

[souhami]

שמתי לב למשהו...

נחסר משני אגפיה את שני אגפי המשוואה הראשונה x + 15z = 60 מכאן אנו רואים, ש-x חייב להתחלק ב-15. ומכיוון שהיו סה"כ 20 אורחים, יש בדיוק שתי אפשרויות למספר הילדים x: או 0, או 15. המשפט הזה תקף רק במקרה הספציפי הזה, כשכל המספרים הם שלמים וחיוביים. אבל איך פותרים משוואה כזאת אם אין תחום הגדרה?

 

[טלמון סילבר]

רוב התרגילים מסוג זה

הם ספציפיים.

 

[טושטוש הללי]

לא הגיוני

אה הגיוני צודק =]

 

[Jacoby23]

יש פתרון רק אם מס' הילדים הוא אפס

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo128.gif לא נכון.