חידה למונדיאל

[עריסטו]

בכדורגל הכדור בנוי מ-12 מחומשים ו-20 משושים, כך שבכל קדקוד נפגשים שלושה מצולעים (ואין קדקוד של מצולע שנמצא לאורך צלע של מצולע אחר ולא בקצה שלה). באופן כללי, אם רוצים לבנות כדור ממחומשים ומשושים שנפגשים בשלשות בקדקודים (ואין קדקוד לאורך צלע, כנ"ל), מה ניתן לומר על מספר המחומשים?

 

[הפרבולה1]

יש N מחומשים ו M משושים
נסמן:
מספר הקודקודים V
מספר הצלעות הוא E
מספר המצולעים ( פאות ) הוא F

מהעובדה שכל צלע משותפת ל 2 מצולעים נובע ש zzz E=(5N+6M)/2
מהעובדה שכל קודקוד משותף ל 3 מצולעים ( בגלל אילוץ זויות) נובע zzz V = (5N+6M)/3
נוסחת אוילר אומרת V = E -F + 2
נציב בנוסחה ונקבל
zzz (5N+6M)/3 = (5N+6M)/2 -(M+N) +2 zzz

פתרון משוואה זאת עבור הנעלמים השלמים N M נותנת פתרון יחיד עבור N שזה N=12
לכן מספר המחומשים הוא תמיד 12.

 

[עריסטו]

יש N מחומשים ו M משושים
נסמן:
מספר הקודקודים V
מספר הצלעות הוא E
מספר המצולעים ( פאות ) הוא F

מהעובדה שכל צלע משותפת ל 2 מצולעים נובע ש zzz E=(5N+6M)/2
מהעובדה שכל קודקוד משותף ל 3 מצולעים ( בגלל אילוץ זויות) נובע zzz V = (5N+6M)/3
נוסחת אוילר אומרת V = E -F + 2
נציב בנוסחה ונקבל
zzz (5N+6M)/3 = (5N+6M)/2 -(M+N) +2 zzz

פתרון משוואה זאת עבור הנעלמים השלמים N M נותנת פתרון יחיד עבור N שזה N=12
לכן מספר המחומשים הוא תמיד 12.

נכון