חידה לחנוכה

[עריסטו]

1. מטילים מטבע הוגן (ששני צדדיו נקראים H ו-T) עד שמקבלים H. מהי תוחלת מספר ההטלות?
2. מסובבים סביבון הוגן (שצדדיו מסומנים נ ג ה פ) עד שמקבלים פ. אם האותיות נ ג לא הופיעו, מהי תוחלת מספר ההטלות?

 

[הפרבולה1]

1) 2
2) 2

 

[עריסטו]

האם נפלת בפח וחשבת ששתי הבעיות שקולות?

 

[הפרבולה1]

האם נפלת בפח וחשבת ששתי הבעיות שקולות?

כנראה שכן ....
האם בסעיף 2 התכוונתה מה התוחלת בהנתן שלא יצא לנו נ ג בהטלות ?

 

[עריסטו]

כנראה שכן ....
האם בסעיף 2 התכוונתה מה התוחלת בהנתן שלא יצא לנו נ ג בהטלות ?

כן
בתור תרגיל נוסף נסה להסביר למה באמת הבעיות לא שקולות.

 

[הפרבולה1]

כן
בתור תרגיל נוסף נסה להסביר למה באמת הבעיות לא שקולות.

יצא לי שההסתברות שיצא פ אחרי n סיבובים בהנתן שלא הופיע באף סיבוב נ ג הוא חצי בחזקת n ( כמו במקרה של הטלת מטבע ), פירוט החישוב:

לפי נוסחת ההסתברות המותנית zzz P(A/B) = P(A∩B)/P(B) zzz
P(B) זה ההסתברות שלא יצא באף סיבוב נ ג וזה שווה לחצי בחזקת n.
P(A∩B) זה ההסתברות שבכל סיבוב יצא ה חוץ מהסיבוב האחרון n שבו יצא פ וזה שווה רבע בחזקת n.
אז
zzz P(A/B) = P(A∩B)/P(B) = (1/4)^n/(1/2)^n = (1/2)^n zzz

האם החישוב שלי לא נכון ?

 

[עריסטו]

יצא לי שההסתברות שיצא פ אחרי n סיבובים בהנתן שלא הופיע באף סיבוב נ ג הוא חצי בחזקת n ( כמו במקרה של הטלת מטבע ), פירוט החישוב:

לפי נוסחת ההסתברות המותנית zzz P(A/B) = P(A∩B)/P(B) zzz
P(B) זה ההסתברות שלא יצא באף סיבוב נ ג וזה שווה לחצי בחזקת n.
P(A∩B) זה ההסתברות שבכל סיבוב יצא ה חוץ מהסיבוב האחרון n שבו יצא פ וזה שווה רבע בחזקת n.
אז
zzz P(A/B) = P(A∩B)/P(B) = (1/4)^n/(1/2)^n = (1/2)^n zzz

האם החישוב שלי לא נכון ?

מזה לא נובע שהתוחלת היא 2. תחשוב למה.
עוד דבר - תיקח בעיה קיצונית: לסביבון יש מיליון צדדים ממוספרים 1 עד מיליון. בהינתן שהמספרים 1 עד 999998 לא הופיעו (והטילו עד שהופיע מיליון), מה תוחלת מספר ההטלות? תחשוב על זה (בלי חישובים) ותראה שהתוחלת אינה 2 אלא קצת יותר מ-1. למה?

 

[הפרבולה1]

מזה לא נובע שהתוחלת היא 2. תחשוב למה.
עוד דבר - תיקח בעיה קיצונית: לסביבון יש מיליון צדדים ממוספרים 1 עד מיליון. בהינתן שהמספרים 1 עד 999998 לא הופיעו (והטילו עד שהופיע מיליון), מה תוחלת מספר ההטלות? תחשוב על זה (בלי חישובים) ותראה שהתוחלת אינה 2 אלא קצת יותר מ-1. למה?

אני חושב שהבנתי את הטעות שלי, במקרה הקיצוני של סביבון עם מליון צדדים אז רוב הסיכויים שיופיע 1000000 כבר בהטלה הראשונה אם מתעלמים מכל הסיבובים שבהם הופיעו מספרים 1 עד 999998 באחת ההטלות , כי אם 1000000 לא הופיע בהטלה הראשונה אז סיכוי גדול מאד שהופיע 1 עד 999998 ולכן הניסוי נפסל מלכתחילה ואם במקרה הופיע 999999 אז סיכוי גדול שהנסוי יפסל בהטלות הבאות.

אז בחידה המקורית עם 4 צדדים הטעות שלי היא קודם כל בחישוב של ההסתברות שבניסוי לא הופיע נ ג
ההסתברות הזאת שווה ל zzz P(B) = ∑ (1/4)ⁿ (n=1,2,3...) = 1/3 zzz

וההסתברות של מאורע A שיהיו n הטלות בהנתן שלא הופיעו נ ג היא
zzz P(A/B) = (1/4)ⁿ/(1/3) zzz

חישוב התוחלת

zzz E ( n )= 3*∑ n*(1/4)ⁿ (n=1,2,3... ) = 4/3 zzz

אז התשובה למקרה 2 היא 4/3 הטלות

 

[עריסטו]

אני חושב שהבנתי את הטעות שלי, במקרה הקיצוני של סביבון עם מליון צדדים אז רוב הסיכויים שיופיע 1000000 כבר בהטלה הראשונה אם מתעלמים מכל הסיבובים שבהם הופיעו מספרים 1 עד 999998 באחת ההטלות , כי אם 1000000 לא הופיע בהטלה הראשונה אז סיכוי גדול מאד שהופיע 1 עד 999998 ולכן הניסוי נפסל מלכתחילה ואם במקרה הופיע 999999 אז סיכוי גדול שהנסוי יפסל בהטלות הבאות.

אז בחידה המקורית עם 4 צדדים הטעות שלי היא קודם כל בחישוב של ההסתברות שבניסוי לא הופיע נ ג
ההסתברות הזאת שווה ל zzz P(B) = ∑ (1/4)ⁿ (n=1,2,3...) = 1/3 zzz

וההסתברות של מאורע A שיהיו n הטלות בהנתן שלא הופיעו נ ג היא
zzz P(A/B) = (1/4)ⁿ/(1/3) zzz

חישוב התוחלת

zzz E ( n )= 3*∑ n*(1/4)ⁿ (n=1,2,3... ) = 4/3 zzz

אז התשובה למקרה 2 היא 4/3 הטלות

נכון
אפשר לפתור גם כך - ניתן לנסח את הבעיה בצורה כזו:
1. מסובבים את הסביבון עד שמופיעה אחת האותיות נ ג פ. בהינתן שנעצרנו באות פ, מהי תוחלת מספר הסיבובים?
אבל ניתן הרי לשאול גם שתי שאלות אחרות -
2. בהינתן שנעצרנו באות נ, מהי תוחלת מספר הסיבובים?
3. בהינתן שנעצרנו באות ג, מהי תוחלת מספר הסיבובים?
לשלוש השאלות האלה יש כמובן אותה תשובה. ויש שאלה רביעית -
4. מהי תוחלת מספר הסיבובים? (כלומר - בלי "בהינתן").
התשובה לשאלה הזו היא הממוצע של שלוש התשובות הקודמות, כלומר התשובה לכל אחת מהן שווה לתשובה לשאלה הרביעית. והתשובה לשאלה הרביעית היא כידוע 4/3 (התפלגות גיאומטרית). לכן זו גם התשובה לשאלה הראשונה.
חידת הסביבון לא שקולה לחידת המטבע כי כשמופיע נ או ג לא זורקים לפח רק את ההטלות האלה אלא את כל סדרת ההטלות.
הערה קטנה - מה שכתבת:
--- אז בחידה המקורית עם 4 צדדים הטעות שלי היא קודם כל בחישוב של ההסתברות שבניסוי לא הופיע נ ג
ההסתברות הזאת שווה ל zzz P(B) = ∑ (1/4)ⁿ (n=1,2,3...) = 1/3 zzz ---
זה ברור גם בלי סיכום טור אינסופי, כי נעצרים כשמופיעה אחת האותיות פ נ ג, ולכן ההסתברות שנעצור באות פ היא שליש.
יש רק עוד בעיה פתוחה אחת - האם זו מתמטיקה הגיונית (שמלמדים במכון וייצמן) או מתמטיקה בלתי הגיונית (שלא מלמדים במכון וייצמן).

 

[הפרבולה1]

נכון
אפשר לפתור גם כך - ניתן לנסח את הבעיה בצורה כזו:
1. מסובבים את הסביבון עד שמופיעה אחת האותיות נ ג פ. בהינתן שנעצרנו באות פ, מהי תוחלת מספר הסיבובים?
אבל ניתן הרי לשאול גם שתי שאלות אחרות -
2. בהינתן שנעצרנו באות נ, מהי תוחלת מספר הסיבובים?
3. בהינתן שנעצרנו באות ג, מהי תוחלת מספר הסיבובים?
לשלוש השאלות האלה יש כמובן אותה תשובה. ויש שאלה רביעית -
4. מהי תוחלת מספר הסיבובים? (כלומר - בלי "בהינתן").
התשובה לשאלה הזו היא הממוצע של שלוש התשובות הקודמות, כלומר התשובה לכל אחת מהן שווה לתשובה לשאלה הרביעית. והתשובה לשאלה הרביעית היא כידוע 4/3 (התפלגות גיאומטרית). לכן זו גם התשובה לשאלה הראשונה.
חידת הסביבון לא שקולה לחידת המטבע כי כשמופיע נ או ג לא זורקים לפח רק את ההטלות האלה אלא את כל סדרת ההטלות.
הערה קטנה - מה שכתבת:
--- אז בחידה המקורית עם 4 צדדים הטעות שלי היא קודם כל בחישוב של ההסתברות שבניסוי לא הופיע נ ג
ההסתברות הזאת שווה ל zzz P(B) = ∑ (1/4)ⁿ (n=1,2,3...) = 1/3 zzz ---
זה ברור גם בלי סיכום טור אינסופי, כי נעצרים כשמופיעה אחת האותיות פ נ ג, ולכן ההסתברות שנעצור באות פ היא שליש.
יש רק עוד בעיה פתוחה אחת - האם זו מתמטיקה הגיונית (שמלמדים במכון וייצמן) או מתמטיקה בלתי הגיונית (שלא מלמדים במכון וייצמן).

יש לי עוד הסבר:

מסובבים את הסביבון עד שמופיעה אחת האותיות נ ג פ. מהי התוחלת מספר הפעמים שהופיע ה ?
התשובה היא 1/3 לפי חישוב תוחלת של התפלגות גאומטרית.
בכל פעם שנעצרנו על פ מספר ההטלות היה ב 1 יותר גדול ממספר הפעמים שהופיע ה, ולכן התוחלת של מספר ההטלות עד שנעצרנו על פ הוא 1 + 1/3 = 4/3

 

[הפרבולה1]

יש רק עוד בעיה פתוחה אחת - האם זו מתמטיקה הגיונית (שמלמדים במכון וייצמן) או מתמטיקה בלתי הגיונית (שלא מלמדים במכון וייצמן).

אכן המתמטיקה הגיונית לחלוטין