חידה לא קשה

[טיקטי1]

חידה לא קשה

Find all primes p such that 2^p + p^2 is also prime. Prove there are no others. תרגום: מצאו את כל המספרים הראשוניים p כך ש: 2 בחזקת p + p בריבוע הוא גם ראשוני הוכיחו שאין עוד pים שמקיימים את התנאי

 

[טלמון סילבר]

חידה חביבה

אשאיר אותה לאחרים. מומלצץ למי שבכלל אינם מכירים את תורת המספרים (למי שמכירים - החידה קלה מדי).

 

[טיקטי1]

../images/Emo45.gif

איך אתה מגדיר "מכירים את תורת המספרים"? (כאלה שלמדו את הנושא באוניברסיטה?)

 

[טלמון סילבר]

שלפחות מכירים את קבוצת

הקלאסים של השאריות במודולו כלשהו

 

[טיקטי1]

../images/Emo6.gif (ספוילר)

אים לא הייתי יודע יותר טוב הייתי אומר שנתת רמז לחידה

 

[1אברהם]

../images/Emo62.gif

2^p+p^2 = 2^p-2 + p^2+2​

2 בחזקת p פחות 2 מתחלק ב 3 לכל p לא זוגי ( קל להוכיח באינדוקציה ) ולגבי p^2+2 אז הוא מתחלק ב 3 לכל p שאינו מתחלק ב3 כי:

P^2+2=p^2-1+3 =(p-1)*(p+1)+3​

או p-1 או p+1 מתחלקים ב 3 ולכן הביטוי המקורי מתחלק ל3 לכל p שאינו מתחלק ב 3 ו ב 2 ( לאו דוקא ראשוני ) ולכן p הראשוניים האפשריים שנותנים בביטוי המקורי מספר ראשוני הם 2 ו3 ואכן זה כך

 

[טיקטי1]

../images/Emo127.gif

 

[טלמון סילבר]

התכוונת, כמובן,

p=3 בלבד

 

[1אברהם]

כמובן,

צריך באמת לבדוק במפורש עבור p=3 p=2 , עבור p=2 מקבלים 8 שאינו ראשוני. אז רק p=3 נותן בביטוי מספר ראשוני לא מגיע לי