חידה הנדסית

[1אברהם]

חידה הנדסית

במשולש ABC הורידו גבהים AD BE CF הנפגשים בנקודה G הוכח שגבהים אלו הם חוצי זוית של המשולש DFE

 

[עריסטו]

תשובה הנדסית

את המרובע GDCE ניתן לחסום במעגל (כי יש בו שתי זוויות נגדיות שסכומן 180 מעלות). לכן זווית GDE שווה לזווית GCE (זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת). באופן דומה זווית GDF שווה לזווית GBF. אבל זוויות GCE ו - GBF שוות, כי GCE משלימה את CGE ל - 90 מעלות ו - GBF משלימה את BGF ל - 90 מעלות, והזוויות CGE ו - BGF שוות.

 

[1אברהם]

../images/Emo127.gif

עכשיו אני אחשוב על המישפט ההפוך

 

[עריסטו]

חידת המשך - משפט הפוך

במשולש ABC בחרו נקודה D על הצלע BC, נקודה E על הצלע AC ונקודה F על הצלע AB כך ש - AD, BE ו - CF הם חוצי זוויות המשולש DEF. הוכיחו כי AD, BE ו - CF הם הגבהים של המשולש ABC.

 

[עריסטו]

../images/Emo26.gif הערה חשובה ../images/Emo36.gif

המצאתי את המשפט ההפוך עכשיו, ובעצמי לא הוכחתי אותו, אז אל תבואו אלי בטענות אם יתברר שהוא לא נכון...

 

[m e w]

דווקא

זה נשמע לי מאוד הגיוני (אינטואטיבית הייתי אומרת שזה נכון)

 

[m e w]

טוב, אז ככה:

זאת הוכחה עילגת למדי - אם יש רעיונות לשיפצור אני יותר מאשמח! אני קצת מכלילה את המקרה לאו דוקא חוצי זוית אלא כל 3 ישרים כלשהם נתון ציור במשולש PQR העבירו ישרים כלשהם QH, RH, PH והמשכיהם. צ"ל יש רק משולש אחד שקוקודיו נמצאים על המשכי QH, RH, PH והנקודות P,R,Q נמצאות על צלעותיו... טוב ההוכחה קצת מצחיקה אבל לא לצחוק ולתקן (אם יש צורך) ... או שתצחקו אבל בשקט, טוב?

אני מציירת את המשולש המתאים - ABC (במקרה של חוצי זוית כמובן שצלעות המושולש יהיו על חוצי הזוית החיצונית) עכשיו אני לוקחת נקודה שהיא בהמשך RH (בציור שלי מעל A) ואני אעביר ישר דרך Q ודרך P שחותך את הקטעים HC ו- HB בנק' c' , b' dd הקטע c'b' יחתוך את המשולש PQR ... דבר דומה אפשר להראות עם נק' מתחת לA (בציור שלי) אפשר לקרוא לזה הוכחה? יש דרך פורמלית יותר לכתוב אותה?

 

[m e w]

תיקון 5 שורות לפני הסוף:

ואני אעביר ישר דרך => ואני אעביר ממנה ישרים דרך

 

[1אברהם]

נראה לי שהמשפט שאמרת נכון אבל

לא הבנתי את ההוכחה

 

[טלמון סילבר]

מכיוון שיש לי בעיות

עם חוש ההומור (כפי שכבר נוכחת בעבר), לא הבנתי מה כל כך מצחיק בהוכחה שלך? דבר אחר, בואי נראה מה בעצם הוכחת. הוכחת נכון בהחלט, שאין יותר ממשולש אחד "שקוקודיו נמצאים על המשכי QH, RH, PH והנקודות P,R,Q נמצאות על צלעותיו". [אמנם לא הוכחת שקיים לפחות משולש אחד כזה, אבל אינטואיטיבית, לפי עקרון הרציפות, השרטוט שלך מוכיח גם את זה]. השאלה היא רק, איך זה מתחבר להוכחת המשפט ההפוך שהציע עריסטו? ניקח משולש חיצוני, הגבהים שלו, ומשולש פנימי שקודקודיו הם בסיסי הגבהים של המשולש החיצוני. מה שהוכחת, זה שאי אפשר להתאים למשולש הפנימי הנ"ל, ולאותם הישרים - משולש חיצוני אחר. אבל זה לא מוכיח שאי אפשר למצוא לאותו משולש חיצוני - משולש פנימי אחר, שחוצי הזוויות שלו עוברים דרך קודקודי המשולש החיצוני. או אולי לא הבנתי משהו?

 

[m e w]

הממ..

קח משולש כלשהו ותעביר את חוצי הזוית שלו יש רק משולש אחד ש"כולא אותו", וצלעותיו יהיו תמיד מאונכות לחוצי הזוית הנ"ל כלומר, חוצי הזויות הם גבהים במשולש החיצוני היחיד שחוסם אותו. לכן, בכל משולש חיצוני, קודקודי המשולש הפנימי יהיו בנק' המפגש של הגבהים עם הצלעות זה מספיק?

 

[m e w]

אולי ככה יורת ברור:

אם תיקח משולש גדול ונניח הוצלחת למצוא משולש אחר פנימי (שזויותיו נחצות באופן שמתאים לתנאים.) עכשיו נתון המשולש הקטן תצייר את המשולש החיצוני היחיד לו עם חוצי הזוית – זה אמור לצאת אותו משולש – ותראה שצלעות המשולש הזה מאונכות לחוצי הזוית של המולש הפנימי

 

[m e w]

אה,

ומה שמצחיק זה שהיא "נורא" לא פורמאלית ומוזרה קצת למען האמת, לא?

 

[טלמון סילבר]

ההוכחה שלך נראית לי בסדר גמור ../images/Emo127.gif

אולי צריך לחשוב על שיפור הניסוח בלבד

 

[m e w]

(-: תודה!

כמו תמיד ניסוח זה לא הצד החזק שלי יש לך רעיון אחר להוכחה?

 

[טלמון סילבר]

ההוכחה שלך יפה ומושלמת,

בגלל השעה המאוחרת והניסוח הלקוני, לא כל כך הבנתי בהתחלה. אולי, אם יהיה לי זמן, אנסח את ההוכחה שלך בצורה יותר מפורטת כדי שכולם יבינו.

 

[m e w]

אני אשמח, ../images/Emo51.gif ../images/Emo13.gif

ד"א מזל"ט והרבה אושר!

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo51.gif רבה,

ד"א, במובן מסוים ישנם ארבעה משולשים החוסמים משולש נתון עם אותם ה"צירים" - אחד מהם חד-זווית, ושלושה קהי-זווית. נשאיר בצד את המקרה של משולש ישר-זווית. ניקח משולש חד-זווית ונבנה את שלושת גבהיו, הנפגשים בנקודה אחת, ונדבר על המשולש החסום שקודקודיו הם בסיסי הגבהים של המשולש המקורי. אם נחבר את נקודת המפגש של הגבהים עם קודקודי המשולש המקורי, נקבל שלושה משולשים קהי-זווית, שבמובן מסוים חוסמים גם הם את אותו המשולש.

 

[m e w]

הם לא ממש חוסמים אותו, לא?

 

[טלמון סילבר]

לכן כתבתי "במובן מסוים".

הרי גם במקור לא דובר על "משולש חסום במשולש". אם ניקח מלכתחילה משולש קהה-זווית ונבנה את גבהיו ונחבר את בסיסיהם, אז נקבל משולש "פנימי" שאינו ממש בפנים.