חידה בשנית...

[בגינס]

חידה בשנית...

אני מציג שוב את החידה: (a,b,c,d) היא רביעיית מספרים רציונליים המקיימת את המערכת: a^2+b^2=c^2 a^3+b^3+c^3=d^3 מצא את ערכי הרביעייה. רמזים: 1. אני לא חושב שיש דרך אנליטית לפתור אותה (אם יש אשמח מאוד לדעת אותה). 2. יש לחשוב על שלשות פיתגוריות רציונליות ולנסות לבדוק אם ניתן להתאים אותן למשוואה השנייה.

 

[BanjoKazooie]

אז הבעיה המרכזית כאן היא ש..

בעצם צריך שd יהיה רציונלי בסופו של דבר? זאת אומרת נבחר שלושה מספרים (רציונליים) ואז גם d צריך להיות רציונלי?

 

[בגינס]

נכון...

 

[BanjoKazooie]

אני חושב שהתשובה היא

a=7 b=24 c=25 ואז d=125 אני אנסה לכתוב הוכחה עוד מעט...

 

[BanjoKazooie]

אופס טעות בחישוב :|

 

[bralon1]

לא יודע אם זה שווה משהו אבל הוכחתי

שa אינו שווה לb. כך: a^2+b^2=c^2 c(a^2+b^2)=c^3 a^3+b^3+c^3=d^3 a^3+b^3+c(a^2+b^2)=d^3 a^2(c+a)+b^2(c+b)=d^3 מקרה א' הוא שבו c+a=c+b מכאן נובע שb=a c^2=2a^2 c^2/a^2=2 c/a=2^0.5 שזה כמובן לא יכול להיות, שורש של שתיים שהוא מספר אי ראציונאלי מיוצג בצורה ראציונלית (שבר) מכאן נובע שa אינו שווה לb. זה מצמצם את החיפושים. לפי דעתי צריך למצוא עוד הגבלות על מספרים וככה זה יגביל את מספר האפשרויות שיש לתנאים המוזכרים לעיל.

 

[yak141]

אפילו שני פתרונות שונים...

עם קצת חוש ניחוש קל למצוא שני פתרונות: א. a=b=c=d=0 ב. a=3 b=4 c=5 d=6 על ידי הכפלת ארבעת המספרים בקבוע כלשהו ניתן לקבל עוד פתרונות. אני בטוח למדי שניתן למצוא עוד כמה פתרונות השונים מהשניים שהצגתי.

 

[בגינס]

ידעתי שתפתור...

ציפיתי ממך לתת קצת יותר זמן לאחרים לנחש. בכל מקרה אתה חושב שיש פתרונות שאינם פרופורציונליים לרביעיה (3k,4k,5k,6k)?