חידה ברמה

[ovadyayosef]

חידה ברמה

יש ריבוע שבכל פינותיו יש נמלה. כל נמלה מנסה להגיע לנמלה שלידה . אורך צלע הריבוע הוא A ומהירות כל נמלה V . תןך כמה זמן יפגשו הנמלים? (רמז: הנמלים יפגשו במרכז) יש לתת נימוק מתמטי... תודה תהנו

 

[amni]

אני מניח שכל נמלה מסתכלת

עם כיוון השעון (או שכל אחת נגד כיוון השעון), אחרת שתי נמלים ינועו זו לעומת זו ויפגשו על מחצית הצלע.

 

[1אברהם]

ניסיון

הזמן יהיה A/V עד שיפגשו במרכז

 

[ovadyayosef]

הוכחה

תשובתך נכונה אבל איך הגעת? ולמה?

 

[1אברהם]

ההסבר שלי

בגלל הסימטריה אז בכל רגע הנמלים נמצאים על קודקודיו של ריבוע שמסתובב וקטן עד שמצטמצם לנקודת המפגש באמצע. כל נמלה מתקדמת לעבר הנמלה השכנה ובניצב לתנועתה כל הזמן, ולכן כל נמלה מצמצמת את המרחק משכנתה במהירות V וכיוון שהמרחק ההתחלתי הוא A אז הזמן עד לפגישה הוא A/V

 

[עמוס ארליך]

בדרך אלגברית

"ההסבר שלי" של 1אברהם הוא בסדר למי שרגיל לחשוב כמוהו. הרי פתרון שמצריך פחות ידע באנאליזה. נניח תחילה שהנמלה אינה משנה את כיוון ההליכה ברציפות אלא הולכת בקטעים ישרים כאשר כל קטע נקבע כך: הנמלה אומדת את המרחק אל חברתה והולכת "בעינים עצומות" לכיוונה לאורך k כפול הדרך הכללית (עם k קטן קבוע). לא קשה לראות שהקטעים יצרו סידרה גיאומטרית יורדת אינסופית עם איבר ראשון kA וכופל השוה לשורש של 1-2k+2k^2. נחשב את סכום הטור, ואחר כך נראה מה קורה לו כאשר k שואף ל-0 .(כלומר, כשהמסלול הולך ונעשה דומה למסלול של "עיניים פתוחות".) אלגברה פשוטה תתן שהגבול הוא A . זה אורך במסלול של כל נמלה.

 

[1אברהם]

../images/Emo127.gif לפי דעתי ההוכחה שלך נכונה

 

[maverick88]

נסיון

2(a/2(^2) חלקי המהירות

 

[ד נ ה3]

ניסיון

שורש 2 חלקי 2 כפול A/V

 

[ovadyayosef]

הוכחה

תנו הוכחה חברה לא סתם תשובה

 

[maverick88]

אולי..

אם הדרך שכל חתול עובר (לפי פיתגורס) זה מה פינה עד האמצע כלומר סכום ריבועים של שתי צלעות אז הסכום הזה מחולק במהירות יתן את הזמן?

 

[ovadyayosef]

רמז

חברה התשובה היא לא כל כך פשוטה ... יש להשתמש בריקורסיה ו\או באינטגרלים לפתירת התשובה ( על פי המרצה שלי) אני יכול להגיד שהתשובה היא באמת a/v אבל ההוכה זה מה שמשנה פה

 

[טלמון סילבר]

צריך

לסובב את מערכת הצירים כך, שהנמלים ירוצו כל הזמן במקביל להם.