חוקי חזקות

[בחשכת הלילה]

פירוט

ln(3!12) = (3!11)•ln(3)
ln^2(3!12) = (3!10)•ln(3) + ln^2(3) > (3!10)•ln(3)
ln^3(3!12) > (3!9)•ln(3) + ln^2(3) > (3!9)•ln(3)
. . .
ln^10(3!12) > (3^3)•ln(3) > 27
ln(4!11) = (4!10)•ln(4)
ln^2(4!11) = (4!9)•ln(4) + ln^2(4)
ln^3(4!11) = ln((4!9)•ln(4) + ln^2(4)) < ln((4!9)•ln(4)) + ln^2(4)/((4!9)•ln(4)) <
< (4!8)•ln(4) + 2ln^2(4)
ln^4(4!11) < ln((4!8)•ln(4) + 2ln^2(4)) < ln((4!8)•ln(4)) + 2ln^2(4)/((4!8)•ln(4)) <
< (4!7)•ln(4) + 3ln^2(4)
. . .
ln^10(4!11) < 4•ln(4) + 9ln^2(4) < 8 + 9 = 17

 

[עריסטו]

ובלי לוגריתמים

הוכחה באינדוקציה:
נוכיח שמגדל של n+1 שלשות תמיד גדול יותר מפי שניים ממגדל של n רביעיות.
עבור n=1 זה נכון: 27 גדול מ-8. נותר להוכיח שאם a>2b כאשר a,b טבעיים אז
3^a > 2(4^b)
הוכחה
3^a > 3^(2b) = 9^b = (9/4)^b * 4^b > 2 * 4^b

 

[בחשכת הלילה]

חידה ישנה, למי שלא מכיר:

פיתרו את שתי המשוואות הבאות:
x^x^x^... = 2
x^x^x^... = 3

 

[אורי769]

פתרון

הראשון הוא קלאסי וזה 2√. אם כי צריך לדעת קצת אינפי כדי להוכיח זאת.
לשני אין פתרון לדעתי.

 

[בחשכת הלילה]

גם לשני

צריך לדעת קצת אינפי - כדי להוכיח שאין פתרון

 

[אורי769]

נכון

אז ככה:
קל לראות ש- ...^x!inf = x^x^x^x מונוטוני עולה ביחס ל-x עבור x>1. לכן אם יש פתרון ל x!inf=y הוא יחיד וקל לראות שהוא (x = y^(1/y
במקרה של y=2 קל להוכיח שעבור x=√2 הערך של x!n חסום ע"י 2 ולכן יש לנו סדרה עולה וחסומה.
במקרה של y=3 להבדיל, צריך להוכיח בעזרת גזירה שהפונקציה (y^(1/y מקבלת מקסימום גלובלי ב-(e^(1/e לכן יש ערך c בין 2 ל-e המקיים (c^(1/c) = 3^(1/3. ולפי רציפות נקבל ש q 3^(1/3)!inf = c.

 

[בחשכת הלילה]

בדיוק לזה התכוונתי

הייתי מנסח את זה בצורה "יותר סימטרית":

קל לראות ש- ...^x!inf = x^x^x^x מונוטוני עולה ביחס ל-x עבור x>1. לכן אם יש פתרון ל x!inf=y הוא יחיד וקל לראות שהוא (x = y^(1/y
עבור הערך הזה של x, קל להוכיח שהערך של x!n חסום ע"י y, ולכן יש לנו סדרה עולה וחסומה, ויש לה גבול (סופי).
קל להוכיח בעזרת גזירה שהפונקציה (y^(1/y מקבלת מקסימום גלובלי ב-(e^(1/e לכן לכל y גדול מ-1 ושונה מ-e יש ערך c מהצד השני של e, המקיים:
y^(1/y) = c^(1/c)
ולפי הרציפות נקבל ש:
y^(1/y)!inf = min(y,c)
כלומר, שווה לזה מן השניים, הקטן מ-e.
במקרה של y=2 זה 2, ובמקרה של y=3 זה לא 3.