בקצרה
איבר בחבורה Sn שהוא חילוף של שני איברים בלבד נקרא "טרנספוזיציה". קל להוכיח שכל איבר x ב-Sn ניתן להצגה כמכפלה של טרנספוזיציות. יש ל-a הרבה אפשרויות איך להציג אותו כמכפלה של טרנספוזיציות, אבל הזוגיות של מספר הטרנספוזיציות הוא קבוע. כלומר a הוא או מכפלה של מספר זוגי של טרנספוזיציות או של מספר אי-זוגי. זו טענה לא טריוויאלית (אם כי גם לא נורא קשה). משהוכחנו את זה, קל (מאד) לראות שאוסף כל הטרנספוזיציות הזוגיות הוא תת-חבורה. נקרא לה An. אתה רוצה להשתכנע ש-An היא מאינדקס 2. כלומר שיש שני קוסטים. אפשר ממש מהגדרת הקוסטים. אבל אפשר גם כך - הפונקציה (sign(a המתאימה ל-a 0 אם a זוגי ו-1 אם a אי-זוגי, היא הומומורפיזם של חבורות. תוכיח את זה ובזה הסתיימה משימתך.
