חבורות
G חבורה ציקלית מסדר n עם יוצר g.
יהא d | n (קרי: d מחלק של n).
אזי יש ת"ח יחידה מסדר d, והיא החבורה zz <g^(n/d)> zz
(במילים אחרות, בחבורה ציקלית מסדר n, מתקיים המשפט ההפוך של משפט לגראנז').
אני מנסה להוכיח ויש משהו שאני רוצה לטעון אבל אני לא בטוח אם מותר לי.
ראשית, נשים לב ש zz (g^(n/d))^d = g^n = 1 zz
אם אקח k כך ש zz 0 <= k < d zz, אזי מתקיים: zz (g^(n/d))^k zz שונה מ 1. (*)
לכן הסדר של האיבר zz g^(n/d) z הוא d.
ולכן zz <g^(n/d)> zz חבורה מסדר d.
השאלה היא למה השורה שמסומנת ב-(*) נכונה? כלומר למה מובטח לי שאם 1 = g^(n/d))^d), אז זה אומר שהסדר של (g^(n/d הוא d? מי אמר שאין מספר קטן מ-d כך שאם נעלה את (g^(n/d בחזקתו, נקבל 1?
אודה על העזרה.
G חבורה ציקלית מסדר n עם יוצר g.
יהא d | n (קרי: d מחלק של n).
אזי יש ת"ח יחידה מסדר d, והיא החבורה zz <g^(n/d)> zz
(במילים אחרות, בחבורה ציקלית מסדר n, מתקיים המשפט ההפוך של משפט לגראנז').
אני מנסה להוכיח ויש משהו שאני רוצה לטעון אבל אני לא בטוח אם מותר לי.
ראשית, נשים לב ש zz (g^(n/d))^d = g^n = 1 zz
אם אקח k כך ש zz 0 <= k < d zz, אזי מתקיים: zz (g^(n/d))^k zz שונה מ 1. (*)
לכן הסדר של האיבר zz g^(n/d) z הוא d.
ולכן zz <g^(n/d)> zz חבורה מסדר d.
השאלה היא למה השורה שמסומנת ב-(*) נכונה? כלומר למה מובטח לי שאם 1 = g^(n/d))^d), אז זה אומר שהסדר של (g^(n/d הוא d? מי אמר שאין מספר קטן מ-d כך שאם נעלה את (g^(n/d בחזקתו, נקבל 1?
אודה על העזרה.