חבורות

[student47]

חבורות

1. למה קבוצת האיברים ב-Zn כך שקיים להם איבר הפכי ב-Zn ביחס לפעולת הכפל מודולו n, היא חבורה?

2. למה הקבוצה האחרונה, היא קבוצת כל המספרים הקטנים מ-n וזרים ל-n?

אודה על תשובותיכם!

 

[אורי769]

תשובות

כפי שמיד ייתברר, השאלה הבאמת חשובה כאן היא השאלה השניה.
לאחרונה יצא לי להסביר לבתי בת ה-5 מה זה "התשובה נמצאת בגוף השאלה". לדוגמא, "מה היה הצבע של הסוס הלבן של נפוליאון?" או "כמה זמן נמשכה מלחמת ששת הימים?". השאלה הראשונה שלך שייכת היטב לקבוצה זו כלומר, כפל מודולו n הוא אסוציאטיבי, ה-1 מתפקד היטב כאדיש. לכן אם אומר לך ש-A היא תת קובצה של Zn שבה כל ההפיכים ביחס לכפל (וכרגע לא משנה מי הם) - ברור מיד שזו חבורה, כי השלמנו את האקסיומות של חבורה.
השאלה היא כמובן, מי הם באמת ההפיכים ביחס לכפל מודולו n. התשובה היא כאמור, שזה כל המספרים ב-Zn הזרים ל-n. כדי להבין זאת צריך קצת רקע בתורת המספרים האלמנטרית. אם למדת על ממג"ב אז בטח למדת שהממג"ב של x,y הוא המספר הקטן ביותר המתקבל מצירוף לינארי ax+by כאשר a,b שלמים. כמו כן ודאי ראית ש-x,y זרים אמ"ם הממג"ב שלהם הוא 1 (זו הגדרה אפשרית). עד כאן הרקע. כעת נניח ש-x הוא קטן מ-n והוא הפיך מודולו n. כלומר קיים t כך ש- xt = 1 mod n. כלומר קיים a שלם כך ש-xt = 1+an ולכן xt-an=1 - כלומר x ו-n זרים. כנ"ל אם הם זרים יוצא ש-x הפיך מודולו n.