התפלגות פואסון

[maverick88]

התפלגות פואסון

למישהו יש אולי איזה קישור או קובץ שיכול לעות שמסביר בנושא? תודה רבה

 

[1קישקשתה]

פואסון

עזוב ,זה נורא פשוט. מדובר בהתפלגות של מאורעות בלתי תלויים שקורים בזמן או במרחב מסוים. דמיין למשל את "שווארמה ציון". אם מספר ההזמנות שהם מקבלים בדקה בודדת הוא 15 ,הרי שיש לנו התפלגות פואסונית עם פרמטר למדא השווה ל-15 . למדא מראה לנו כמה מאורעות מתקבלים ביחידת זמן. במקרה של השווארמה , יחידת הזמן היא 1 דקה. מכיוון שמדובר במאורעות בלתי תלויים הקורים ביחידת זמן (אם "דוד הזמין שווארמה בטלפון" ,זהו מאורע שלא תלוי במאורע "יצחק מרחובות הזמין גם כן שווארמה באותה דקה") - פרמטר למדא שלנו משתנה בצורה לינארית ליחידת הזמן הנמדדת. פרמטר למדא אם כן ב"שווארמה ציון" בהתפלגות שתימדד ב -5 דקות יהיה 75 (15*5) וב-10 דקות הוא יהיה 150 (15*10).... וכך הלאה... תכונה בולטת של התפלגות זו שהיא "חסרת זיכרון". כלומר: אם "שווארמה ציון" קיבלה בין 10:00 ל-10:10 100 הזמנות בכל דקה זה לא אומר דבר על ההסתברות לקבל 100 הזמנות או יותר גם בין 10:10 ל -10:11 . בדיוק כמו בניסוי ברנולי (התפלגות בינומית) - אם מילאת טופס טוטו ובעשרת המשחקים הראשונים קלעת בומבה ב-8 משחקים , אין זה אומר דבר על ההסתברות לשאר 6 המשחקים.... דבר נוסף : מכיוון שמדובר בהתפלגות המורכבת ממאורעות בלתי תלויים ביחידת זמן ,הרי שהמושג "הסתברות מותנה" לא בדיוק קיים שם הלכה למעשה. לדוגמה: אם ידוע שבין 12:00 ל-12:01 קיבלה "שווארמה ציון" 20 הזמנות ואנו רוצים לדעת מה ההסתברות שהיא תקבל 30 הזמנות בסה"כ בין 12:00 ל-12:03 ,אנו פשוט צריכים לחשב מהי ההסתברות לקבל 10 הזמנות בין 12:01 ל -12:03 . מכיוון שמדובר ב-2 דקות הרי שפרמטר למדא יהיה 30 (2*15) , כאשר k=10 . אל תשכח שהתוחלת והשונות של התפלגות זו שוות שתיהן ללמדא! צירפתי קובץ ובו הנוסחה לחישוב ההסתברות של מאורע כלשהו בהתפלגות פואסונית. בדוגמה השנייה בקובץ תוכל לראות את יישומה של התפלגות זו ביחד עם התפלגות בינומית למשל. חפיף..

 

[maverick88]

תודה |תודה |תודה ../images/Emo41.gif תודה ../images/Emo13.gif

אני מודה לך כל כך על ההשקעה שלך וניסיון לעזור...תודה ענקית רק שאלה אחת נותרה לי לגבי השאלה שנתת בהסבר עם השווארמה: "אם ידוע שבין 12:00 ל-12:01 קיבלה "שווארמה ציון" 20 הזמנות" זהו זמן של 1 דקות ו20 הזמנות לכן לזמן של דקה אחת לאמדה תהיה 20 נכון? אם מבקשים ל2 דקות אז יש התפלגות פואסונית עם פרמטר לאמדא השווה ל40 נכון? אז הפתרון של לקבל 10 הזמנות ב2 דקות בהנחה שמקבלים 20 ב1 הוא:

P = (40^10)/((10!)(e^40) = 0.00000012760205​

נראה דיי קטן...זה נכון?

 

[1קישקשתה]

זה נכון ../images/Emo13.gif

אתה חישבת לפי למדא של 20 לדקה למרות שבנתון המקורי למדא שווה 15 לדקה. אבל זה לא משנה. נניח שנצא מנקודת הנחה שהשווארמה מקבלת 20 הזמנות בדקה. הגיוני מאוד שההסתברות ב-2 דקות לקבל רק 10 הזמנות היא נמוכה מאוד מאוד. זו אחת התכונות של פונקציה מעריכית שכזו. שים לב אגב שמכיוון שלמדה תמיד שונה מ-0 אין שום משמעות לביטוי: "ההסתברות למאורע כלשהו ביחידת זמן שווה ל-0". גם אין שום משמעות לביטוי: "ההסתברות שמאורע יקרה הוא 100%". יש לזה משמעות רבה לחיים העסקיים. תאר לעצמך שאתה מנהל שרות לקוחות של חברת סלולר גדולה. יש לך מיליוני לקוחות ברחבי המדינה. כיצד תעריך כמה טלפנים וטלפניות תצטרך להעסיק על מנת שיענו בצורה סבירה לכל השיחות (או רק לחלק , אם החלטת שלא חייבים לענות לכולם

). איך תוכל למדוד זאת? הרי בדקה מסוימת יכולות להתקבל 200 שיחות בו זמנית ואילו בדקה אחרת רק 37 שיחות... נניח שספרת את מספר השיחות שקיבלת בין 12:00 ל -13:00 . נרשמו 1000 שיחות. כיצד תעריך את הנתונים הללו? אולי רוב השיחות התקבלו ב-10 הדקות הראשונות של השעה? אולי זה התפלג בצורה אחידה? אולי התקבלו שיחות רק בחצי השעה הראשונה? ישבו חכמינו וטיכסו עצה... הם מצאו שישנם תהליכים אקראיים אשר לא ניתן לחשבם במדויק בשעת מעשה אלא רק להעריך את התפלגותם. התפלגות שכזו נקראת פואסונית ומתקיימת בתהליכים אלו. התפלגות פואסון מופיעה במספר הקלקולים במרכזת טלפונים ביום מסוים ,מספר התפרקויות הגרעינים של חומר רדיואקטיבי ביחידת זמן ,מספר האנשים הפונים לפקיד מסוים בבנק.... ועוד. אם מוכר השווארמה מתייחס למכירותיו בשעות הצהריים (שעות העומס נניח) כהתפלגות פואסונית ומוצא שבשעות אלו פרמטר הלמדא שלו הוא 20 , יהיה טפשי מצידו אם יעסיק עובדים בשעות אלו שיכולים למכור רק 10 לאפות ב-2 דקות.. הסיבה מאוד פשוטה ואתה חישבת אותה בעצמך : ההסתברות שהוא ימכור 10 לאפות ב-2 דקות היא מאוד מאוד נמוכה. אגב , מכיוון שהתפלגות פואסון היא התפלגות הסתברות יש להוכיח שסכום כל ההסתברות שווה ל-1. כלומר: לכל k שמקבל ערכים מ -0 עד אינסוף ,הנוסחה שצירפתי בקובץ צריכה לתת 1. אבל אל תדאג..כבר הוכיחו זאת..

 

[maverick88]

ואללה סבבה...תודה עקניייתת עוד פעם

ד"א לגבי המשפט האחרון, אפשר להכויח באמצעות אינטגרל אני חושב לא?

 

[1קישקשתה]

הרבה יותר פשוט

תראה באיזו קלות..

 

[maverick88]

עוד משהו קטן ...

תגיד, איך הגיע למספר הזה e, איך בכלל חשבו על לקשר אותו להתםלגות הזאת?

 

[1קישקשתה]

שאלה טובה ../images/Emo13.gif

היי , אני רואה שאתה ממש מתעניין בפואסון

כדי לענות על שאלה זו יש לפעול ב-2 מישורים. המישור האחד הוא לרדת לבוריה של ההתפלגות ולהבין את רעיונה. המישור השני הוא הוכחה מתמטית גרידא הנובעת ישירות מהגדרת ההתפלגות ומהבנת רעיונה. המישור הראשון - קיבלת קצת רקע בנוגע להתפלגות פואסון , אבל הבה נחדד זאת יותר: התפלגות פואסון היא תוצר של ההתפלגות הבינומית רק בהבדל אחד משמעותי - כמות הניסויים n היא אינסופית(או גדולה מאוד אם תרצה). ההתפלגות הבינומית מדברת על סיכויי הצלחה p בניסוי בודד בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים אחד בשני וסופיים. למשל: הסיכוי לנחש נכונה משחק אחד בטוטו הוא 1/3 ,מה ההסתברות לנחש נכונה 10 משחקים בטופס של 16 משחקים? הסתברות הצלחה של ניסוי בודד פה היא p=1/3 . מספר הניסויים הוא n=16 , ומספר ההצלחות המבוקש הוא k=10 . מספר הניסויים n ידוע מראש ולכן הוא סופי. מתי אנו נתקלים בסדרת ניסויים אשר היא גדולה מאוד? כאשר נוסף ממד נוסף של זמן או מרחב . במקרה שכזה יש להסתכל על התפלגות המאורעות כעל התפלגות פואסונית. התפלגות זו שומרת על אותם כללים כמו התפלגות בינומית רגילה אך צריכה גם לעמוד בתנאים הבאים: 1) מספרי השינויים בכל מרווחי זמן שאינם חופפים הם בלתי תלויים אחד בשני . (בדיוק כמו בהתפלגות בינומית). 2) ההסתברות לשינוי אחד ויחיד במרווח(של זמן = של כמות ניסויים גדולה) מספיק קטן h הוא - a*h , כאשר a היא ההסתברות לשינוי אחד ו - h הוא המרווח 1/n (אחד חלקיי n ) של n ניסויים. יוצא אפוא שההסתברות למאורע בודד בהחלט הוא a/n . המונה a אגב הוא הלמדא שלנו

3)ההסתברות ששני שינויים (מאורעות) או יותר יקרו במרווח מספיק קטן הוא תמיד 0 (המאורעות זרים זה לזה ולא יכולים לקרות במקביל ביחידת זמן מספיק קטנה) -זה אולי קצת קשה להבין ,אבל גם אם נציגת שרות לקוחות מקבלת 10 שיחות באותה שנייה ,הרי שבמרווחי זמן מספיק קטנים תמיד מישהו התקשר לפני האחר... כאשר כמות הניסויים n הופך גדול ,התפלגות המאורעות הופכת פואסונית. דוגמאות: א. כמות השגיאות שעושה כתבנית (מזכירה) בהקלידה דף. ב. כמות המוטציות הנוצרות על משטח DNA לאחר שנחשף לקרינה רדיו אקטיבית. ג.כמות המכוניות שעוברות בנקודה מסוימת בצומת במשך זמן מסוים. ד. כמות כניסות הגולשים לפורום מתמטיקה בתפוז בדקה

עכשיו אתה יכול לעבור להוכחה שצירפתי...

 

[avinamal]

עוד תשובה טובה

זה ממש לא חייב להיות e, שים שם 2 במקום ותקבל אותו סיפור, רק עם "למדא" שונה. e^x זו פונקציה נוחה לגזירה ואינטגרציה, אז אני שמח שבחרו בה - אך אין צורך להצדיק זאת מעבר לנוחות.

 

[maverick88]

ואללה סבבה, תודה רבה על ההסבר

המפורט...אתה מסביר ממש טוב

רבה

 

[גיל14]

פואסון = ../images/Emo19.gif../images/Emo19.gif../images/Emo19.gif../images/Emo19.gif

 

[avinamal]

aurevoir et merci pour les poissons

 

[גיל14]

יותר כמו

Adieu et merci pour tous les poissons Si triste que soit devrait venir à ceci

 

[gil levi]

אפשר תרגום?

 

[גיל14]

שאל את דאגלס אדאמס...

או אותי. תרגום לאנגלית, ברשותך.

So long and thanks for all the fish So sad that it should come to this​