הפיך באלגברת *C
- פותח הנושא liat002
- פורסם בתאריך
AnarchistPhilosopher
Well-known member
כוון אחד ברור.
מכך שזה אלגברת C* יחידתית נובע שמתקיים:
1=(xa)^*(xa)
וזה קטן או שווה ל-
||x||^2aa^*
 
כי כל איבר צמוד לעצמו מקיים
h\le ||h|| \cdot 1
 
ומתקיים
||b*b|| = ||b||^2
 
לכן אנו מקבלים ש-
a*a - ||x||^-2\cdot 1
גדול או שווה מאפס.
 
לכן הספקטרום של a*a מוכל באינטרוול
[||b||^{-2} , \infty)
 
לכן a*a הפיך.
(כי הספקטרום לא מכיל אפס).
 
כי הספקטרום של איבר b הוא כל הנקודות עבורם
xI-b
הוא לא הפיך.
 
נראה לי, התרגיל הזה מופיע גם בספר
An Introduction to K theory for C* algebras
תרגיל 5.1, ויש שם רמז על מה להסתכל.
 
מכך שזה אלגברת C* יחידתית נובע שמתקיים:
1=(xa)^*(xa)
וזה קטן או שווה ל-
||x||^2aa^*
 
כי כל איבר צמוד לעצמו מקיים
h\le ||h|| \cdot 1
 
ומתקיים
||b*b|| = ||b||^2
 
לכן אנו מקבלים ש-
a*a - ||x||^-2\cdot 1
גדול או שווה מאפס.
 
לכן הספקטרום של a*a מוכל באינטרוול
[||b||^{-2} , \infty)
 
לכן a*a הפיך.
(כי הספקטרום לא מכיל אפס).
 
כי הספקטרום של איבר b הוא כל הנקודות עבורם
xI-b
הוא לא הפיך.
 
נראה לי, התרגיל הזה מופיע גם בספר
An Introduction to K theory for C* algebras
תרגיל 5.1, ויש שם רמז על מה להסתכל.
 
נראה לי אפשר לפשט
עם המשפט הספקטרלי, זה נובע מיידי מהסתכלות על P(z)=z*conj(z)=|z|^2
 
בכל אופן,
a*a הוא איבר חיובי, ולכן הספקטרום הוא רק בציר החיובי.
כאילו צריך לחשוב על L=a*a כמו על הלפלסיאן.
עכשיו, אנחנו יודעים שהערך העצמי הקטן ביותר (נניח שהספקטרום דיסקרטי, אפשר לסדר את זה נראה לי גם במקרה האחר) הוא פשוט מגיע ממנת ריילי
zz min x*Lx/(x*x) zz
לפי הנתון על ההפיכות, ומכך שהספקטרום סגור, מקבלים שהמנה הזו חיובית ממש.
עכשיו פשוט להכניס את ההגדרה של L ומקבלים
zz min (ax)*(ax)/(x*x) >0 zz
 
אם 0 היה בספקטרום של a, אז היתה סדרת xים כך ש- zz ||ax|| -> 0 zz, אבל מה שכתוב למעלה מראה שזה בלתי אפשרי.
עם המשפט הספקטרלי, זה נובע מיידי מהסתכלות על P(z)=z*conj(z)=|z|^2
 
בכל אופן,
a*a הוא איבר חיובי, ולכן הספקטרום הוא רק בציר החיובי.
כאילו צריך לחשוב על L=a*a כמו על הלפלסיאן.
עכשיו, אנחנו יודעים שהערך העצמי הקטן ביותר (נניח שהספקטרום דיסקרטי, אפשר לסדר את זה נראה לי גם במקרה האחר) הוא פשוט מגיע ממנת ריילי
zz min x*Lx/(x*x) zz
לפי הנתון על ההפיכות, ומכך שהספקטרום סגור, מקבלים שהמנה הזו חיובית ממש.
עכשיו פשוט להכניס את ההגדרה של L ומקבלים
zz min (ax)*(ax)/(x*x) >0 zz
 
אם 0 היה בספקטרום של a, אז היתה סדרת xים כך ש- zz ||ax|| -> 0 zz, אבל מה שכתוב למעלה מראה שזה בלתי אפשרי.
אם למדת אלגברה לינארית 2 אז למדת על מנת ריילי
אם למדת דיסקרטית למדת על מנת ריילי.
אם למדת גרפים אז למדת על מנת ריילי.
אם למדת גיאומטריה אז למדת על מנת ריילי.
https://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient
אם למדת דיסקרטית למדת על מנת ריילי.
אם למדת גרפים אז למדת על מנת ריילי.
אם למדת גיאומטריה אז למדת על מנת ריילי.
https://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.