העתקה לינארית

[thebomb2]

העתקה לינארית

אם ישנה העתקה לינארית:
R^3-->R1[x] והמימד של הגרעין הוא 2, זו העתקה שלא יכולה להתקיים מכיוון שמימד התמונה (לפי משפט המימד) חייב להיות 1 ובנתון הוא יוצא 2 (מרחב כל הפולינומים ממעלה ראשונה).

זה נכון להגיד את זה?

 

[איייייל]

לא.

למה החלטת שמימד התמונה הוא 2? זה לא נתון...

 

[thebomb2]

אם התחום הוא מרחב הפולינומים ממעלה 1, המימד

שלו הוא 2, לא?
אני לא יכול להסיק את זה?

 

[thebomb2]

תיקון** התכוונתי לטווח!

 

[איייייל]

אבל אתה טענת שמימד התמונה הוא 2

ולא מימד הטווח

 

[antreprize]

לפעמים הכוונה הסימון הזה

היא למרחב הפולינומים ממעלה קטנה מn (במקרה הזה 1).

 

[thebomb2]

הנה התמונה

אני לא חושב שזו הכוונה..

 

[antreprize]

למה אתה לא חושב ככה?

לא מופיעה שם הגדרה לR1[x], אך ממשפט המימד (שאני מניח שאינך חולק עליו) משתמע שזו הכוונה.

 

[thebomb2]

הנה מה שאני הבנתי, אשמח אם תתקן אותי:

מימד התחום=3
מימד הטווח=2
נובע שמימד הגרעין צריך להיות לפחות 1.
נתון שהגרעין נפרש ע"י וקטורים ומימד 1 מוכל בתוך מימד 2.
לכן יש העתקה לינארית שמקיימת את זה.

אני יודע שכדי לרשום מרחב כל הפולינומים ממעלה i רושמים R(i-1)[x]

 

[thebomb2]

**נתון שהגרעין נפרש ע"י 2 וקטורים

 

[antreprize]

מימד התמונה הוא המימד של מרחב התחום

פחות המימד של הגרעין, לפי משפט המימד. נתונים לך מימד התחום (R^3) ומימד הגרעין (טוב, הוא לא נתון ממש אבל תבדוק ת"ל ותראה בעצמך).


אתה יודע לא נכון. הסימן Rn[x] משמעו מרחב הפולינומים מעל R שמעלתם n (או n-1, תלוי איפה ואני משער שהגדירו במדויק בהרצאה/ספר). במקרה הזה הכוונה לn-1 כי כמו שכבר אמרתי האפשרות השנייה סותרת את משפט המימד.

 

[thebomb2]

אבל זה כל הקטע בשאלה, שיכול להיות שאין העתקה

כזו ואתה צריך לבדוק את זה.
(ככל הידוע לי כשרשום n זה אומר ממעלה n, לא זכור לי שהגדירו אחרת בהרצאות)

 

[antreprize]

אוקיי, אז תלך לפי ההגדרה הזאת.

אז השאלה היא: האם יכולה להיות העתקה לינארית T מR^3 לR1[x] כך שמימד הגרעין הוא 2 ומימד התמונה הוא 1?
שים לב שיש הבדל בין הטווח לתמונה. התמונה היא המרחב של כל הוקטורים אליהם T מעתיקה והיא חלקית לטווח ולא בהכרח שווה לו.
המשמעות של הטווח הנתון לך היא שכל וקטור בR^3 יועתק לפולינום ממעלה קטנה או שווה ל1.

 

[thebomb2]

אוקי, אני מקווה שהבנתי.. תודה רבה