הסבר לאלכסון קנטור..

[Blueberry1]

הסבר לאלכסון קנטור..

היי, מישהו מצליח להבין את אלכסון קנטור ויוכל לתת לי הסבר בבקשה..? :/

 

[Blueberry1]

ב"הסבר בבקשה..?" צירפתי קישור למידע עליו

שלא כל כך ברור..

 

[Maha Vailo]

הסבר

ההוכחה שבויקיפדיה די בסדר, אבל הנה ההוכחה במילים שלי, אם זה יעזור. אלכסון קנטור נועד להראות אי שקילות בין קבוצות. שתי קבוצות נקראות שקולות עצמה אם קיימת התאמה חח"ע ועל בינהן. הרעיון מאחורי הוכחת האלכסון היא להראות שכל התאמה בין קבוצה A לB לא תהיה "על" ולכן הקבוצות לא שקולות ובפרט B>A. הדרך בה ההוכחה עובדת היא להראות שלכל פונקציה f מA ל B קיים איבר בB שלא קיים לו מקור בA. למשל, בהוכחה שהמספרים הממשיים לא ניתנים למנייה, מתחילים ע"י פונקציה כללית מהטבעיים לממשיים. כלומר הפונקציה f מתאימה לכל מספר טבעי, מספר ממשי. אז לכל פונקציה כזאת נחפש מספר ממשי שלא יתכן שיש לו מקור. נסתכל על מספר ממשי כפיתוח אינסופי שלו בבסיס עשר. נגדיר מספר ממשי x כך שהספרה הi שלו אחרי הנקודה תהיה שונה מהספרה הi אחרי הנקודה של המספר f(i). דוגמא

f(1)=0.123 f(2)=0.549 f(3)=0.008​

לכן לאותו X הספרה הראשונה אחרי הנקודה תהיה שונה מ1, הספרה השנייה תהיה שונה מ4 והספרה השלישית תהיה שונה מ8 וכך הלאה. עכשיו, נניח בשלילה שf היא על, אז קיים n טבעי כלשהו שהוא מקור ל X, כלומר

f=X​

אם כך מה תהיה הספרה ה n אחרי הנקודה בX? היא חייבת להיות שונה מהספרה הn אחרי הנקודה של המספר f. זו סתירה ולכן לא קיים מקור לX. לא הייתה כאן שום הגבלה אחרת על הפונקציה מלבד התחום והטווח שלה, ולכן לכל פונקציה מהטבעיים לממשיים שנבחר נוכל למצוא X כזה ולכן היא לא "על". זה אומר שהממשיים הם לא בני מנייה. יש כאן עוד את הבעיה שיש ממשיים שניתן לרשום בשתי צורות, למשל 0.99999... ו 1.0000..... איך מתגברים על זה רשום בויקיפדיה. בכל מקרה ההוכחה הזאת היא הרבה יותר כללית ואחת המסקנות היותר חשובות שלה היא שלכל קבוצה A מתקיים P(A)>A כאשר P(A) זו קבוצת תתי הקבוצות של A מקווה שזה עזר

 

[KarNaF המקורי]

אחח דיסקרטית... מזכיר תקופות שחורות ../images/Emo4.gif

 

[yoniBLA]

מה לא הבנת?