קצת סדר בדברים
מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית שלם. ההגדרה הפורמלית של "שלם" היא שכל סדרת קושי מתכנסת לאיבר במרחב. בגדול, זה אומר שכל סדרה מתכנסת אכן מתכנסת לאיבר במרחב (ולא לאיבר מחוץ למרחב). למשל, מרחב הפונקציות הרציפות (עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית) הוא לא שלם, כי אפשר למצוא טור של פונקציות רציפות (טור פוריה, למשל) שמתכנס לפונקציה לא רציפה... (למעשה מרחב הפונקציות הרציפות הוא תת-מרחב של L2, שהוא כן מרחב הילברט. כל מרחב הוא בעצם תת-מרחב של מרחב הילברט כלשהו). העובדה שהמרחב הוא שלם היא חיונית בקוונטים, אבל אני לא מבין בזה יותר מדי (למדתי קוונטים בפקולטה לפיסיקה... שם רק הזכירו שהמרחב הוא שלם, ולא אמרו בדיוק איפה משתמשים בזה). אני יודע, למשל, שבמרחב הילברט תמיד קיים "קירוב טוב ביותר" (כלומר, לכל וקטור v ולכל תת מרחב שלם W קיים וקטור w ב W שהכי קרוב ל v).
