הוכיחו כי...

[עריסטו]

הוכיחו כי...

...אם a ו - b הם שני מספרים טבעיים המורכבים מאותן ספרות, אזי סכום הספרות של 2a שווה לסכום הספרות של 2b.

 

[שייח ספיר]

בבקשה:

עבור הספרה הk-ית במספר X נסמן בa_k את השארית שלה בחלוקה לחמש (מספר בין 0 ל-4), ובs_k את תוצאת החלוקה השלמה הזו (כלומר 0 אם הספרה בין 0 ל-4 ו-1 אם הספרה בין 5 ל9). אז:

X=(a_0+5*s_0*5)+(a_1+5*s_1)*10+...+(a_n+5*s_n)*10^n 2X=2*a_0+(2*a_1+s_0)*10+...+(2*a_n+s_{n-1})*10^n+s_n*10^{n+1}​

סכום הספרות של 2X הוא:

2*(a_0+a_1+...+a_n)+s_0+s_1+...+s_n​

וסכום זה לא תלוי בסדר הספרות במספר!

 

[שייח ספיר]

תיקון קטן:

במשוואה הראשונה צריך להיות a_0+5*s_0 ולא a_0+5*s_0*5.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[טלמון סילבר]

אפשר לנסח גם כך ../images/Emo26.gif

כשמספר מוכפל ב-2, כל ספרה הופכת לספרה מסויימת אחרת, אם נתעלם לרגע מהעברת יחידה לפוזיציה שמאלה. עד עכשיו - זה לא תלוי בסדר הספרות. מתקבלות בדיוק אותן ספרות, וגם סמוכן שווה. ספרות מסויימות גורמות להעברת יחידה לפוזיציה שמאלה, מה שיגרום בדיוק להוספת 1 לפוזיציה זו, וגם לסכום הספרות, מכיוון שזה לעולם לא יגרום להעברה נוספת. וגם זה לא משנה באיזה סדר הופיעו הספרות הגורמות להוספת ה-1.