הוכחת שטח מלבן

[nightmareman]

הוכחת שטח מלבן

שלום, היום הצלחתי להוכיח שטח של מלבן. לפי מה שהבנתי ההוכחה המוכרת לשטח מלבן אומרת פשוט לחלק לריבועים ושסכום שטחי הריבועים שווה לצלע כפול צלע. הבעיה היא שאם יש צלע אחת שהיא שורש 2 והשנייה 1, אין שום מידה משותפת שתמיד יהיה שטח שלא מכוסה בריבועים. הצלחתי להוכיח שטח של מלבן רק על פי שטח של ריבוע (צלע בריבוע) כולל מלבנים אי רציונאלים... השאלה שלי היא האם יש עוד הוכחה לזה ואם כן אז אשמח לקישור או להסבר
תודה ממש ממש רבה...

 

[sstbrg]

בוודאי

זה Overkill רציני אבל ככה בשביל השעשוע מה שנקרא, בעזרת אינטגרלים כפולים ההוכחה פשוטה להפליא.
קח מערכת צירים קרטזית, תסמן מלבן בעזרת הנקודות (0,0), (a,0), (0,b), (a,b). תגדיר גבולות אינטגרציה מ0 עד a עבור ציר X ומ-0 עד b עבור ציר y. אינטגרל כפול יניב לך a*b.

 

[אלמוני היחידה]

אם אני לא טועה זאת הוכחה מעגלית

כי איך מוכיחים שאינטגרל זה בעצם שטח

בעזרת סכומי רימן= גבול של סכום מלבנים...
בטוח שיש דרך לאכוף את זה.

 

[sstbrg]

זאת לא הוכחה

ברור שלא הצעתי פה הוכחה אלא דרך נוספת להראות חישוב שטח של מלבן

 

[sstbrg]

וכן, כתבתי במקור הוכחה בטעות. מצטער על הבלבול

 

[אפלטוניסט]

גם אני אשמח לדעת איך

איך ברגע שאנחנו משכללים את מערכת המספרים לממשיים , איך מוכיחים ששטח של מלבן הוא מכפלת הצלעות.

 

[הפרבולה]

נניח שמוגדר השטח של מלבן

שהאורך והרוחב a b הם מספרים רציונלים ( מחלקים את המלבן לריבועים לפי המידה המשותפת של 2 צלעות והשטח זה מספר הריבועים האלו כפול שטח של ריבוע שזה מוגדר כאורך הצלע בריבוע וזה שווה לאורך כפול הרוחב )

כעת אם אין מידה משותפת ל 2 הצלעות אז , נבחר סידרת מספרים רציונלים a1 a2 a2 .... נגיד מונוטנית עולה
שגבולה הוא האורך a וסידרה נוספת מונוטנית עולה של מספרים רציונלים b1 b2 b3 .... שגבולה הוא הרוחב b. לכל זוג ai,bi כזה מוגדר שטח Si הגבול של הסידרה Si זה השטח ( כי זו סידרה אינסופית עולה וחסומה , וגם נובע מארימתיקה של גבולות) ושווה לאורך כפול הרוחב a*b

 

[nightmareman]

לצערי, מצעתי הוכחה פשוטה יותר משלי

http://www.proofwiki.org/wiki/Area_of_Parallelogram/Rectangle
ההוכחה ממש ממש פשוטה...
לפחות אבל מצאתי עוד הוכחה לזה...

 

[אורי769]

כן אבל....

שים לב שההוכחה הזו מסתמכת על הנחות שאותן לא הוכחת
א. שטח ריבוע הוא a^2
ב. שטחים של מצולעים חופפים הם זהים.
ג. שטח הוא אדטיבי - שטח של איחוד שתי צורות לא נחתכות הוא סכום שטחן.

מה אתה אומר... צריך להוכיח את זה או לא?