הוכחה מתמטית..

[CommandeRiker]

הוכחה מתמטית..

האם הוכיחו שקווים מקבילים כן נפגשים?

 

[omri-segal]

תשובה

בגיאומטריה האוקלידית הם לא ייפגשו, כי יש אקסיומה שאומרת שקווים מקבילים לא נפגשים. אבל יש מערכות אקסיומות אחרות לגיאומטריה שבהן קווים מקבילים יכולים להפגש. נקודה למחשבה - קווי האורך של כדור הארץ - קווים "ישרים", המקבילים בקו המשווה, נפגשים בקטבים

 

[ררדד]

ממש לא

קווים מקבילים כמו קו או נקודה מוגדרים כאקסיומה- כלומר לא ניתן להגדיר אותם. אז מתייחסים אליהם כאילו הם הוגדרו בשביל להגדיר בעזרתם משפטים אחרים בשפת המטמתיקה. עכשיו אם אתה שואל למה לא ניתן להגדיר קווים מקבילים זה מכיוון שלא נוכל לעולם לדעת כיצד הם מתנהגים בסביבת האינסוף למשל! מי יודע אולי באינסוף הם יפגשו- זה לא אומר שבטוח הם יפגשו או שקיימת הוכחה לכך! רק אולי... יש עוד נושאים מעניינים מסוג זה כמו טענה שמנקודה ליד ישר לא ניתן להעביר שום קו מקביל לישר! כמובן לא ניתן להוכיח או לשלול זאת. באותה מידה קיימת טענה (דיי מפורסמת) שמנקודה שליד ישר ניתן להעביר אין סוף קווים מקבילים לישר, כשמנסים להסביר טענה זו מציאים לדמיין את המצב הזה בתלת מימד. אך שוב לא הוכח ולא יוכח..

 

[בבוצי]

אין תשובה

זו אקסיומה

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo6.gif התשובות הקודמות שגויות.

ההגדרה של שני קווים מקבילים במישור היא... שהם אינם נפגשים

לכן מובן שהם לעולם לא יפגשו, לפי ההגדרה שלהם! שאלה אחרת היא, האם קיימים בכלל קווים כאלה? כמה ישנם קווים העוברים דרך נקודה מסויימת ומקבילים לישר נתון שאינו עובר דרך אותה נקודה? אוקלידס הניח לפני אלפי שנים, שאי אפשר לפתור בעיה זו! ובכן, הוא צדק! אם נחליט באופן שרירותי שדרך כל נקודה עובר בדיוק ישר אחד המקביל לישר נתון שאינו עובר דרך אותה נקודה (אוקלידס אכן כך עשה, וקרא לטענתו 'אקסיומה'. ליתר דיוק: הוא קרא לזה קצת אחרת, וגם הניסוח שלו היה שונה לחלוטין, אבל המשמעות היתה בדיוק כזאת), אזי מתקבלת הגאומטריה האוקלידית לה אנו רגילים. למשל משפט פיתגורס ועוד הרבה משפטים. אם נקבל בנידון החלטות אחרות, תתקבלנה גאומטריות שונות לחלוטין. למשל, משפט פיתגורס אינו מתקיים בהן. לפי גאומטרית לובצ'בסקי ('הגאומטריה ההיפרבולית'), דרך כל נקודה עובר מספר אינסופי של ישרים המקבילים לישר נתון שאינו עובר דרך אותה נקודה (כלומר - אני מזכיר - אינם נפגשים אתו). לפי גאומטרית רימן ('הגאומטריה האליפטית') ישרים מקבילים בכלל לא קיימים! כל שני ישרים נפדשים בהכרח! ואני מזכיר שוב את ההגדרה: אם הם נפגשים, סימן שאינם מקבילים.