אפשר להגדיר sinx באמצעות מד"ר ע"י שימוש בטכניקה הזאת
נניח אנחנו מגדירים את sinx בתור הפונקציה היחידה שמקיימת y(0) = 0 y'(0) = 1 y'' = -y אנחנו רוצים להראות שsinx מקיימת את נוסחת סכום הזוויות מהתיכון. בהנתן פונקציה y(x) zz גזירה פעמיים כלשהי (לא בהכרח פתרון של המד"ר מלמעלה), נסמן g(x) = y'(x) + i y(x) כאשר i^2 = -1. אז y'' = -y אם ורק g'(x) = i * g(x) zz. נבחר y כמו למעלה (עם אותם תנאי התחלה) ונבחר a קבוע ונסתכל על הפונקציה הבאה g(x+a) * g(-x) נגזור אותה: (g(x+a) * g(-x))' = g'(x+a) * g(-x) - g(x+a)*g'(-x) = i g(x+a) g(-x) - g(x+a) * i g(-x) = 0 לכן נקבל כי g(x+a)*g(-x) zz היא פונקציה קבועה. אם נבחר x=0, נקבל g(a) * g(-0) = g(a) * 1 = g(a) ולכן קיבלנו g(x+a) * g(-x) = g(a) בפרט ע"י הצבת a=0 נקבל g(x) * g(-x) = g(0) = 1 לכן נקבל בסה"כ g(x+a) = g(x) * g(a) ע"י השוואת החלקים הממשיים והחלקים המדומים שני האגפים, נקבל את הנוסחאות מהתיכון (כאשר בסימונים שלנו y' = cosx, y = sinx). הערה: לא צריך לדעת אנליזה מרוכבת בשביל התגובה הזאת: לפונקציה מהממשיים למרוכבים f(t) = x(t) + iy(t) כאשר x(t), y(t) zz פונקציות ממשיות גזירות, נגדיר באופן פורמלי f'(t) = x'(t) + iy'(t) אז אפשר להראות כי מתקיים כלל לייבניץ וכי מתקיים כי אם f'(t) = 0 אז f קבועה. זה נובע מהמשפטים במקרה הממשי ומההגדרה הפורמלית.