הגדרה חיובית

[עריסטו]

Is there a "positive" definition for irrational numbers?

An irrational number is a real number that cannot be expressed as a ratio of integers. Is it possible to formulate a "positive" definition for irrational numbers? A few examples: An irrational nu...

math.stackexchange.com

נסו לענות על השאלה! הצעת פתרון שלי:

ספוילר: הצעה

מספר ממשי x נקרא אי-רציונלי אם לכל מספר חיובי y קיימים מספרים שלמים a, b כך ש- zzz 0 < ax + b < y.

 

[AnarchistPhilosopher]

איך ההגדרה שלך שקולה להגדרה הרגילה של מספר אי-רציונלי?
אני לא רואה את זה.

 

[עריסטו]

איך ההגדרה שלך שקולה להגדרה הרגילה של מספר אי-רציונלי?
אני לא רואה את זה.

מה לא הצלחת להוכיח?
1. שלמספר רציונלי לא קיימים a, b כאלה לכל y
2. שלמספר אי-רציונלי קיימים a, b כאלה לכל y
3. שניהם

 

[AnarchistPhilosopher]

אה אוקיי.

אם x מספר רציונלי ונניח שקיימים a,b שלמים כך ש-
ax+b<y אז מתקיים: x<(y-b)/a או x>(y-b)/a בהתאם לסימן של a.
אז למעשה מקבלים שהרציונלי הזה גדול מכל רציונלי אחר או קטן מכל רציונלי אחר, וזה בלתי אפשרי.

 

[הפרבולה1]

אה אוקיי.

אם x מספר רציונלי ונניח שקיימים a,b שלמים כך ש-
ax+b<y אז מתקיים: x<(y-b)/a או x>(y-b)/a בהתאם לסימן של a.
אז למעשה מקבלים שהרציונלי הזה גדול מכל רציונלי אחר או קטן מכל רציונלי אחר, וזה בלתי אפשרי.

לא הבנתי את ההוכחה שלך לטענה 1 ( שלמספר רציונלי לא קיימים a, b כאלה לכל y )
הנה הוכחה שלי:

נניח x רצינלי כלומר x=m/n ו m,n שלמים.
נבחר y=1/n , צריך להתקיים:
zzz 0 < (a*m+b*n)/n < 1/n zzz

כיוון ש b n m a שלמים אז הביטוי zzz (a*m+b*n)/n = k/n zzz כאשר k שלם , ולכן k/n לא יכול להיות ממש בתוך הקטע zzz [0,1/n] zzz לכל k שלם.

 

[AnarchistPhilosopher]

לא הבנתי את ההוכחה שלך לטענה 1 ( שלמספר רציונלי לא קיימים a, b כאלה לכל y )
הנה הוכחה שלי:

נניח x רצינלי כלומר x=m/n ו m,n שלמים.
נבחר y=1/n , צריך להתקיים:
zzz 0 < (a*m+b*n)/n < 1/n zzz

כיוון ש b n m a שלמים אז הביטוי zzz (a*m+b*n)/n = k/n zzz כאשר k שלם , ולכן k/n לא יכול להיות ממש בתוך הקטע zzz [0,1/n] zzz לכל k שלם.

מה שאני חשבתי ויכול להיות שאני טועה.
זה אם מניחים ש-x מספר רציונלי ושלכל y מספר שלם חיובי (האמת בהגדרה המקורית של עריסטו הוא רק כותב ש-y מספר חיובי, אבל אז ההגדרה מעגלית, כי מספר ממשי הוא או רציונלי או אי רציונלי, ואז אתה מגדיר מספר x כאי רציונלי אם לכל מספר y חיובי שיכול להיות רציונלי או אירציונלי... אז במקרה זה ההגדרה מניחה שאתה יודע כבר מה זה מספר אי רציונלי או רציונלי) קיימים a,b שלמים כך ש- ax+b<y ואז מקבלים את שני האי שוויונות שרשמתי בהתאם לסימן של a.
מאחר שזה נכון לכל בחירה של מספר שלם חיובי y ו-a,b שלמים מתאימים הרי שנקבל שהמספר x שהוא רציונלי בהכרח גדול או קטן מכל מספר רציונלי.

טוב, אני כבר לא בטוח.
כנראה צריך לציין ש-y הוא רציונלי חיובי.

 

[הפרבולה1]

נשאר להוכיח את 2
שלמספר אי-רציונלי קיימים a, b שלמים לכל y חיובי ומתקיים:
zzz 0 < ax + b < y.

יש לי רעיון להוכחה .....

 

[הפרבולה1]

עוד הגדרה חיובית:
x הוא מספר אירציונלי אם לכל n טבעי מתקיים
zzz 0 < n*x - [n*x] zzz

[ ] זה הערך השלם.