האם ניתן להוכיח

[LCD1]

האם ניתן להוכיח

שהמרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא קו ישר?

 

[Alkhimey]

נסיון

נניח כי המרחק הכי קצר בין שתי נקודות הוא לא קו ישר, משמע הוא קו עקום כולשהו. ניקח שתי נקודות ונשרטט את המרחק הכי קצר בהינהן. קו עקום מורכב מאינסוף נקודות שמחברים בינהן קוים ישרים. היות והנחנו שקו ישר הוא לא המרחק הכי קצר בין שתי נקודות, ניתן בין כל שתי נקודות על הקו העקום לשרטט קו שיהיה יותר קצר מהקו שיש שם כבר. זאת אומרת נקבל קו שיותר קצר מהקו שהנחנו שהוא הכי קצר.

 

[יאיר של תמר]

שאלה

פרכת את הטענה שהמרחק בין *כל* שתי נקודות הוא קו ישר, אבל אולי המרחק בין *חלק* נקודות הוא קו ישר?

 

[יאיר של תמר]

ועוד משהו..."סחתין" על הניסיון!

 

[Fingertip]

../images/Emo26.gifאני חושב שזו אקסיומה

הסיבה: בגיאומטריה כדורית, קח שתי נקודות. חבר אותן במעגל גדול (מעגל שהמרכז שלו הוא מרכז הכדור). יש לך אפוא שני קוים ישרים שמחברים את הנקודות על פני הכדור, אבל אחד יותר ארוך מהשני. אבל מעולם לא למדתי את הגיאומטריה האוקלידית באופן אקסיומתי. אהד.

 

[tkuihehr]

../images/Emo45.gif בדיוק

ואני מכיר את העיניין הזה של 2 נקודות על הכדור [מה גם שחוץ מהקווים שעוטפים את הכדור יש גם את הקו הישיר העובר בתוך הכדור, אשר כמובן שונה מהקווים האחרים ואינו באותו גודל

 

[soroker]

ננסה

טוב ההסבר יותר מסובל מלהגיד את זה מזהו אי אפשר *להוכיח* (אלא אם נתון) שהמרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא קו ישר נצא מנקודת הנחה ששתי הנקודות שלנו נמצאות על פרבולה כלשהי הדרך היחידה שיהיה לנו קו ישר הוא רק משיק תמיד תיהיה סטייה ולא יהיה קו ישר 100 אחוז

 

[מספר6]

שאלה של הגדרה

יש אינספור דרכים להגדיר מרחק ולא בכולן הדרך הקצרה ביותר היא קו ישר. אם אתה בוחר בהגדרה של מרחק אוקלידי, אז קו ישר הוא אכן הדרך הקצרה ביותר. וכן, ניתן להוכיח את זה.

 

[טלמון סילבר]

תלוי באיכות הדרך,

בכמות הרמזורים, ובמספר גורמים נוספים.

 

[לתומי יש אקדח ביד]

זה נראה לי כמו להוכיח ש- 2=1+1

זאת די עובדה..

 

[pazro]

כמובן שלא. כי זה פשוט לא נכון

מה שהתכונתה לשאול זה, האם ניתן להוכיח כי על מישור המרחק הקצר ביותר בין שני נקודות הוא קו ישר. הקו הקצר ביותר הוא הקו שעובר בנקודות כאלו בהם אין שינוי לפוטינצאל שלהם או שהשינוי הוא מקסימלי לכל אורך הקו.

 

[pazro]

תיקון: מקסימלי ואחיד

 

[גיל14]

למה רק על מישור? בכל R^n.

 

[pazro]

כאשר אתה מתחיל לדבר על מרחבים

מרובי מימדים אתה צריך ליצור אוצר מילים חדש. לדוגמה במעבר ב2 ל3 מימדים נוצרו המילים פרמידה וקוביה. קו ישר כמו שאנו מכירים אותו עלול להיראות מעוד אחרת בחלל מרובה מימדים. ודוגמה יפה לכך היא מעבר קרני אור סביב מסות, לנו הם נראות כנעות בהיפרבולות למרות שהם נעות בקו ישר. לכן אני נמנע מהלכיל את ההגדרה לחלל מרובה מימדים.

 

[pazro]

אופס, עכשו שמתי לב ששאלתה משהוא אחר

אני אתן לך דוגמה פשוטה. כך גלובוס או סתם כדור, בחר שני נקודות ונסה לחבר אותם בקו ישר מבלי לשבור כלום. כמובן שזה לא אפשרי, הקו הישר ה"אמיתי" יעבור דרך הגלובוס. בזמן שהקו הישר "המצאותי" יראה כקשת.

 

[גיל14]

כן,

אבל אם תקח ספֵרה בR^3 ותבחר עליה שתי נקודות, הקטע הישר (שעובר בתוך הגלובוס...) יהיה קצר מהקשת. זו כוונתי. גיאומטריות ספריות ואחרות פשוט מגדירות קו ישר באופן אחר.

 

[ןן גיל ןן]

הוכחה

יהיו x ו- y שתי נקודות ב- R^n. המרחק האוקלידי ביניהן מוגדר ע"י הנוסחה הידועה (שורש של סכום ריבועי הפרשי הקואורדינטות). למה: האורך של כל קו פוליגונלי המחבר בין x ל- y גדול (או שווה) למרחק האוקלידי בין x ו- y. הוכחה: באינדוקציה על מס' הקטעים המרכיבים את הקו הפוליגונלי, תוך שימוש באי שוויון המשולש (אורך צלע במשולש קטן מסכום אורכי שתי הצלעות האחרות). כעת, תהי C עקומה כלשהיא המחברת בין x ו- y. האורך של C הינו הגבול של אורכי קוים פוליגונליים המתקבלים מסימון נקודות על פני C. על פי הלמה, האורך של כל קו פוליגונלי כזה גדול או שווה למרחק האוקלידי בין x ו- y. לכן, גם האורך של C גדול או שווה למרחק האוקלידי בין x ו- y. לסיום, נוכיח שאם C איננה קו ישר, אז האורך של C גדול ממש מהמרחק בין x ו- y: תהי z נקודה על C שאינה נמצאת על הקו הישר בין x ו- y. אז האורך של C שווה לאורך של C מ- x עד z + האורך של C מ- z עד y. ע"פ מה שהוכחנו, זה גדול או שווה למרחק בין x ו- z ועוד המרחק בין z ו- y, וע"פ אי שוויון המשולש, מספר זה גדול ממש מהמרחק בין x ל- y. מש"ל.