דו-קרב

[point618]

דו-קרב

אורי ובני החליטו לערוך דו-קרב. הנשק: אקדחים. הם יעמדו מרחק מסוים זה מזה ויירו בו זמנית. במידה ושניהם יחטיאו הם יטענו ויירו פעם נוספת עד שהקרב יגמר. לרשותם כמות בילתי מוגבלת של תחמושת. סיכויו של אורי לפגוע בבני בכל ירייה הם 1/3 סיכויו של בני לפגוע באורי בכל ירייה הם 1/4 אם אחד מהם פוגע ביריבו הוא הורגו. מה סיכוייו של בני לנצח?

 

[mili999]

המממ...

יצא לי שהסיכוי של בני הוא 2/3 והסיכוי של אורי הוא 2/4=1/2.

 

[mili999]

בהמשך לחוק של טעות בכל תגובה:

השמות הם הפוכים, כמובן. אני הנחתי שאם שניהם פוגעים אז שניהם ניצחו. בהנחה שזה תיקו אז צריך להוריד ששית מכל אחד והסיכויים הם חצי ושליש בהתאמה. (זה שיורה פחות טוב יש לו סיכוי של חצי לנצח ולשני שליש ויש להם סיכוי של ששית לתיקו).

 

[point618]

../images/Emo45.gif ?

נראה לי שהסיכוי של היורה הטוב יותר הוא 1/2 ושל היורה הגרוע 1/3

 

[mili999]

אבל אז לא הייתי טועה בתגובה!

ברור שזה שיורה יותר טוב יש לו יותר סיכוי לפגוע!!

 

[שרלוק]

../images/Emo128.gif אני לא מסכים../images/Emo70.gif

ואני מקווה שאצליח להסביר את עצמי: הסיכוי של אורי לפגוע הוא 1/3 (בכל ירייה בודדת) ושל בני הוא 1/4. צריך להבחין בין הסיכוי של בני לפגוע, לבין הסיכוי שלו לנצח - זה לא אותו דבר. בכל סבב של הדו קרב יכולות להיות 4 תוצאות אפשריות, שההסתברויות שלהן אמורות להסתכם ל-1: א - אורי פוגע (1/3)ובני פוגע (1/4) = 1/3 כפול 1/4 = 1/12. ב - אורי לא פוגע (2/3) ובני לא פוגע (3/4) = 2/3 כפול 3/4 = 6/12. ג - אורי פוגע (1/3) ובני לא פוגע (3/4) = 1/3 כפול 3/4 = 3/12. ד - אורי לא פוגע (2/3) ובני פוגע (1/4) = 2/3 כפול 1/4 = 2/12. הערה:לאפשרויות ג' וד' אפשר להגיע בדרך אחרת (ניקח את ד' כדוגמה): הסיכוי של בני לפגוע בלי שאורי יפגע גם שווה לסיכוי של בני לפגוע (1/4=3/12) פחות הסיכוי ששניהם ייפגעו (1/12) - יוצא 2/12. לסיכום - הסיכוי של בני לנצח בסבב הראשון הוא 1/6 (רק אפשרות ד' היא נצחון של בני). הסבב השני יתקיים רק אם בראשון שניהם לא פגעו (ההסתברות לזה היא 1/2 - אפשרות ב'). לכן צריך לחזור על החישוב של ארבע האפשרויות לגבי הסבב השני, בהינתן שהוא מתקיים - בהינתן תוצאה אחת אפשרית בסבב הראשון שההסתברות לה היא 1/2). הסיכוי של אורי לפגוע בסבב כלשהו הוא 1/3, אבל ההסתברות שהוא ייפגע בסבב השני היא 1/3 כפול 1/2 = 1/6. באותו אופן, הסיכוי של בני לפגוע בסבב השני הוא 1/4 כפול 1/2 = 1/8. הסיכוי של בני לנצח בסבב השני הוא הסיכוי שלו לפגוע (1/8) פחות הסיכוי ששניהם ייפגעו (1/6 כפול 1/8) = 1/8 פחות 1/48 = 5/48. צריך לחשב עבור הסבבים הבאים, ולראות לאיזו הסתברות מתכנס או שואף בני. טעיתי? אם כן אז איפה?

 

[mili999]

התחלת מצוין

איבדתי אותך בשורות האחרונות. יכול להיות שסכום הסרה שאת יוצר הוא זהה לשלנו, אבל אני לא בטוח אם לא התבלבלת בכתיבה שם. מה היה לנו: הסיכוי של בני לנצח בסיבוב הראשון הוא 1/6. הסיכוי בסיבוב השני הוא שוב 1/6 אבל כפול 1/2 שהם יגיעו לסיבוב שני. פה אתה רשמת שבאותו אופן הסיכוי של בני לפגוע בסבב השני הוא 1/4 כפול 1/2 שזה שמינית, ואני חושב שהבנתי את מה שלא היה ברור לי קודם - אתה מתכוון לאורי. ואתה צודק עד כאן! ולכן יש את הסדרות הבאות עבור בני ואורי בהתאמה:

(1/6) + 1/2(1/6+1/2(1/6+1/2(1/6+....))))= 1/6+1/2*1/6+1/2^2*1/6+1/2^3*1/6...= 1/6*(1+1/2+1/4+...)=1/6*2=1/3 1/4+1/4*1/2+1/4*1/2^2...=...=1/4*2=1/2​

 

[שרלוק]

התכוונתי לבני בכל זאת

הסיכוי של בני לפגוע הוא 1/4. הסיכוי של בני לפגוע בסבב השני הוא הסיכוי של בני לפגוע (1/4) כפול הסיכוי שיתקיים סבב שני (1/2) = 1/8. זה הסיכוי של בני לפגוע בסבב השני, אבל לא הסיכוי שלו לנצח, כי צריך להפחית מזה את הסיכוי ששניהם פוגעים בסבב השני - הסיכוי שאורי ייפגע הוא 1/3 מוכפל בסיכוי שיהיה סבב שני (1/2) = 1/6. הסיכוי ששניהם ייפגעו הוא הסיכוי של בני (1/8) כפול הסיכוי של אורי (1/6) = 1/48. 1/8 פחות 1/48 = 5/48. כדי לענות על השאלה בחידה - מה הסיכוי של בני לנצח - צריך לחבר את הסיכוי שלו לנצח בסבב הראשון (1/6) ועוד הסיכוי שלו לנצח בסבב השני (5/48) ועוד הסיכוי שלו לנצח בשלישי (?) וכן הלאה.

 

[mili999]

נכון התכוונת לבני

אני כל הזמן מתבלבל ביניהם, ואני חושב שאני מבין את הטעות שלך - הלפגוע ולנצח די מבלבל כאן, אבל: הסיכוי של בני לפגוע בסיבוב השני הוא כאמור 1/8. הסיכוי של אורי הוא 1/6 הסיכוי של שניהם הוא לא 1/6*1/8 כי ההסתברויות האלה לא בלתי תלויות האחת בשניה, בשתיהן יש הנחה שאנחנו נגיע לסיבוב השני בהסתברות 1/2 ויש פה את החצי פעמיים: ההסתברות ששניהם יפגעו היא 1/2*1/3*1/4 שזה 1/24 (בני פוגע וגם אורי פוגע וגם יש סיבוב שני), ולכן הסיכוי של בני לנצח הוא 1/12 שזה בדיוק 1/6 *1/2. אם תמשיך תראה שבסיבוב הבא יהיה סיכוי של 1/6 *1/2*1/2, וכך הלאה..

 

[שרלוק]

שאלה

אם הם יורים בו זמנית ושניהם פוגעים (והורגים כמובן), זה נחשב לבני כניצחון או כהפסד?

 

[point618]

תשובה

קשה לקרא לאדם מת מנצח. לכן המקרה בו שניהם נהרגים אינו יכול להיחשב כניצחון לאף אחד מהם. במילים אחרות, זה לא נחשב.