גרפים...

[mbrv]

גרפים...

חשבתי עם משהו שהוא בטח סתמי לאלה , אבל : איך בעצם אפשר לצייר דרף של פונקציה מתמטית? הרי דרף של פונקציה מורכב מאוסף של המון נקודות שמקיימות את הפונקציה , עכשיו , לנקודה , כדי שנוכל לראות אותה חייב להיות אורך ורוחב ... אם יש לה אורך ורוחב , היא לא יכולה להיות בדיוק הנקודה הזו , למשל , אם נרצה לסמן את הנקודה (1,1) נשים את מרכז העיפרון בנקודה הזו , אבל לא חשוב מה , לסימון יהיה אורך ורוחב , ולכן הנקודה לא תהיה ב-ד-י-ו-ק על (1,1) , ובעצם כל אורך שהוא גדול מ 0 לא מתאים , ואורך 0 הוא בלתי נראה , כל שאיך אפשר לראות גרפים שמורכבים מאוסף של נקודות "בלתי נראות" ? (תתחילו בירידות על טימטומי עכשיו )

 

[Fonia]

נקודה זה מושג מתמטי....

כמו שאתה לא יכול לצייר קו ישר, אתה לעולם לא תוכל לצייר קו ישר. או ריבוע. או מעגל מושלם.

 

[Fonia]

אולי אני טועה?

אולי כן יש דרך מתחכמת לצייר קו ישר? (נניח שניתן לו עובי מסויים. אני לארג' היום) אתם מוזמנים להתפרע, רק הפעם בלי להסיט את כדור הארץ מצירו, אוקי?

 

[ailag]

דוקא צדקת ../images/Emo13.gif

כל גרף שאנחנו מציירים הוא רק ייצוג (מקורב) של גרף אידיאלי של פונקציה. הרי גם אם לא נעשה שגיאות אנושיות, ונשפר את המכשירים שלנו, יכולים להיות שינויים פצפונים בגרף, שבשבילם נצטרך נקודות יותר קטנות מאטומים. איך נצייר דבר כזה? דוגמה: "פונקציית דיריכלה" היא פונקציה שנותנת את הערך 1 לכל מספר רציונלי (מספר שאפשר לקבל אותו ע"י חלוקה של שני שלמים, כמו 1/3 או 5/4) ואת הערך אפס לכל מספר אי-רציונלי (כמו שורש 2 או פאי). עכשיו, הוכחנו (בחדו"א 1 ובדידה) שבין כל שני רציונליים יש מספר אי רציונלי, בין כל שני אי רציונליים יש מספר רציונלי, ושיש יותר אי רציונליים מרציונליים בכל קטע אפשרי. (רציף ומעל R, למתחכמים) הפונקציה הזאת צריכה להיראות ככה : ּ.ּ.ּ.ּ.ּ. -- אבל זה לא מדוייק מספיק (צריכים להיות יותר אי רציונליים מרציונליים). מי שלא הבין מוזמן לנסות לצייר אותה - אי אפשר לצייר אותה בצורה מושלמת כי היא דורשת דיוק של אחד חלקי אינסוף, ומספר האטומים על הדף מוגבל. נ.ב. גם אם תנסו לעשות זום לתוך קטע ממש קטן של הפונקציה הזאת, היא עדיין תהיה מסובכת בדיוק באותה מידה, ובלתי אפשרית לציור. נ.נ.ב. |מסיטה את כדור הארץ מצירו|

 

[ailag]

יש לי דוגמה יותר פשוטה

גרף שכולו y=1, חוץ משבx=0 אז y=8. עשינו נקודה שם, עכשיו אנחנו צריכים שב x = 0.000001 , עדיין הערך יהיה 1 (כי זה לא x=0). סבבה, חידדנו את העיפרון, וידאנו שלא גלשנו לשם. עכשיו נצייר ברמת דיוק של x = 0.00000000001. שוב, נחדד את העיפרון. אבל אנחנו רוצים להיות מסוגלים לצייר בכל רמה של דיוק שיבקשו מאיתנו - ויש רמה מוגבלת לחידוד עפרונות, אפילו עפרונות מושלמים. נ.ב. אם מישהו מזכיר עכשיו אפסילון ודלתא, הוא חוטף מכות. וירטואליות.

מותר לכם להגיד "רציפות" אבל אתם לא תחדשו כלום.

 

[1ca1]

ד"א בד"כ מבקשים סקיצה של הגרף...

ככה שמותר לעשות קצת הגזמות ויציאה מקני מידה... ד"א לנקודה בהיבט הטופלוגי לפחות, אין שום עובי או אורך או משהו, הוא בסה"כ "יצור" במרחב הוקטורי של ישר... כלומר מרחב R1 למשל עם מדברים על נקודה בישר הממשי...

 

[ailag]

נקודה = R0

 

[Fonia]

לקו יש קיום בעולמנו?

אם למשל ע"י ננוטכנולוגיה נוכל לסדר קו עיפרון פחם כך שכל האטומים יהיו מסודרים (נניח שהאטומים הם מרובעים חמודים). הרי לקו אין עובי, הוא מחבר בין נקודה לנקודה - ואם נקודה לא קיימת, בין מה למה הוא מחבר? נ.ב - |מחזיר את כדור הארץ לצירו ומחזק עם בזנט|

 

[ailag]

קו, נקודה

נניח שהאטומים הם גם בגודל אפס ולכן אין לקו עובי? (חלק גדול מהטיעון שלי התבסס על זה שלאטומים יש גודל) אם נניח את ההנחה הזאת - שהרבה יעקמו את הפנים בגללה: נקודה קיימת, פשוט אם תיקח יקום רק עם נקודה, יהיו לו אפס מימדים. קו קיים, קו הוא אוסף של אינסוף נקודות, במימד אחד. משטח הוא אוסף של אינסוף קווים בשני מימדים וכו'. אם יש לאטומים גודל, אז אין לנו בעיה: אתה יכול לענות על השאלה בקשר לכדורים גדולים - ואז להקטין אותם.

 

[Deathatred]

מרחב בדיד בפועל

רוב האנשים נוהגים לחשוב על האלקטרון ועל חלקיקים כמו קוורקים בתור חלקיקים נקודתיים אמיתיים ולכן אפשר להעלות את הרעיון של גרף שמורכב מאלקטרונים (הבעיות הטכניות - מספר סופי של אלקטרונים, כוחות דחייה עצומים, לא נראה כלום בגלל שאין מספיק רזולוציה) אבל לפי תורת המיתרים שאלקטרון הוא לא חלקיק נקודתי אלא בעל גודל סופי מאוד מאוד מאוד מאוד קטן (אורך פלנק). הפוטון נחשב לחלקיק נקודתי אמיתי אבל ההתנהגות הגלית שלו הופכת אותו לבפועל לא נקודתי לצרכי גרפיקה. החשבון האינפיניטסימלי בנוי במידה רבה על האינסוף ועל עצמים אינסופיים (האינפיניטסימלים של ניוטון, חשבון האפסילון-דלתא של קושי שמתבסס על המספרים הממשיים שעד היום לא הצליחו לבנות אותם ללא שימוש באינסוף אקטואלי) ולכן לא ניתן לדמיין באמת מה שהולך שם. הגרפים והשירטוטים (כולל אלה של הגיאומטריה) באים לתת אינטואציות והמחשה סמלית כאשר קו של עיפרון (שלמעשה הוא תיבה של גרפיט בה הרוחב והגובה קטנים מאוד ביחס לאורך) הוא רק סמל לקו המתמטי. לכן, מתמטיקאים קפדנים במיוחד, יקפידו לקרוא לעקומות שלהן "סכמה של גרף" ולא "גרף". ולסיום, הגיאומטריה זו אומנות למחשבה נכונה על שירטוטים לא נכונים.

 

[1ca1]

המרחב של נקודה הוא R0 אבל

הנקודה עצמה היא "יצור" בR1, כלומר האובייקטים שמרכיבים R1, הם נקודות... למעשה לנקודה עצמה אין משמעות, היא חסרת שום דבר, שום אורך/רוחב/גובה וכו'... איתה אפשר לבנות את הדברים... זה כמו שמאטומים ניתן לבנות מולקולות וכו'

 

[כרומטי]

אוקיי שניה.....לכל המתמטיקאים

ופיסיקאים כאן......אני רוצה להוסיף לשאלה כאן משהו. קו הוא אוסף של נקודות נכון? לנקודה אין רוחב, עובי או אורך. יש לה 0 מימדים. אם כך איך ל2 נקודות או 3 או כמה שצריך בשביל להרכיב קו יש אורך? הרי לכל נקודה בפני עצמה אין אורך אז למה לכמה ביחד יש? האם זה קשור לכמות האינסופית של הנקודות? (אין סוף גדול יותר מ-א0 ?)

 

[Deathatred]

שאלה מצוינת ../images/Emo45.gif

מבחינה אלגברית, אפשר לומר שהשאלה אנלוגית לכמה זה 0 כפול אינסוף. התשובה המקובלת לשאלה באלגברה היא ש 0 כפול אינסוף זו מכפלה לא מוגדרת ולכן כל מספר יכול לשמש תשובה. כלומר 0*אינסוף=1 אבל יכול להיות גם שווה 0 או יכול להיות שווה ל 2 או אפילו לאינסוף. המתמטיקאים פתרו את הבעיה ע"י עקיפתה. הם פשוט הגדירו "קו" בדרכים חלופיות. למשל: הגדרה של קו המסתמכת על מרחבים וקטורים וחשבון אינפיניטסימלי (לפי הגדרה זו הקו הוא הגרף של פונקציה שמתאימה לכל מספר ממשי וקטור במרחב R^n. אגב - מהגדרה זו עולים כמה מסקנות מפתיעות - למשל: קו ללא אורך!). ולפיסיקאים? להם לא איכפת.

 

[כרומטי]

תודה על התשובה!

אבל זה לא גורם לחשוב קצת....שאולי משהו כאן מוזר? כלומר אולי צריך לשנות הגדרה של משהו בסיסי? פשוט מוזר לי שקיימות כל כך הרבה בעיות כאלה ופשוט מתעלמים מהן. לדוגמא....שמעתי שמהאקסיומות של תורת הקבוצות נובעים הרבה פרדוקסים. אז למה לא משנים את האקסיומות? או מוסיפים אקסיומות חדשות? אני מבין שזו בעיה קשה מאוד......אני אשנה את הניסוח שלי.....האם בכלל מנסים לטפל בבעיה הזו או שפשוט נשארים עם האקסיומות האלו? תודה

 

[Deathatred]

עלית על הנקודה ../images/Emo13.gif

כאשר יש בעיות עם המסקנות שנובעות מההגדרות פשוט משנים את ההגדרות. ובכלל, הגישה המקובלת היום במתמטיקה, שמייסדה היה דויד הילברט, היא הפורמליזם. כדי להמחיש אותה אני אדגים לגבי מושג הקו.

לגבי האדם הממוצע קו הוא משהו רציף וחסר עובי המחבר בין שני נקודות, או "אורך ללא עובי" בלשון ארכימדס.

עפ"י הילברט קו הוא "יצור" שמקיים רשימת אקסיומות מסיומת. לדידו, אין כל קשר לוגי בין הקו המתמטי לבין מה שאנחנו חושבים שעומד מאחורי משיכה רציפה של הקולמוס על דף נייר. באמצעות השיטה הזאת, של הסרת המשמעות האינטואיטיבית של מושגים מתמטיים והחלפתם בפורמליזם נוקשה (אובייקט A מקיים את אקסיומת B1, B2 ו B3), נפתרים הרבה בעיות ופרדוקסים - פשוט כי אי אפשר לדבר עליהם או להגיד אותם בשפה החדשה. אם למישהו זה מזכיר את השיחושב של ג'ורג' אורוול (1984) זה בכלל לא מקרי. בקשר לפרודקסים של תורת הקבוצות - המתמטים ישבו ופיתחו מערכת חדשה של אקסיומות שפותרת אותן ע"י העלמתם (כלומר, בשפת האקסיומות החדשות אי אפשר לבטא את הפרדוקסים). המערכת המקובלת כיום, היא ZF אך גם היא לא נעדרת בעיות.

 

[כרומטי]

אוקיי...נראה לי שהבנתי....תודה!

זה מסוג הרעיונות שצריך לשבת ולעכל קצת.....תודה!

 

[mili999]

מספר הסתיגויות:

לכל אחד יש אינטואיציה מסוימת לגבי מהו אינסוף, המתמטיקה מראה שהאינטואיציה הזאת נורא חלקלקה ומטעה הרבה פעמים. (למשל: קיום מספרים לא רציונלים, עוצמת המספרים בין 0 ל-1 היא כמו בכל הציר, עוצמת הרציונלים = עוצמת הטבעיים...). באלגברה אין דבר כזה אינסוף, יש שאיפה לאינסוף. השאיפה היא של סדרה ויש לזה הגדרה מדויקת ועם זה אפשר לעבוד. בשביל האינטואיציה שלנו והנוחות אנחנו אומרים מספר שהוא אינסוף במקום סדרה ששואפת לאינסוף. 0 כפול כל מספר כולל סדרה ששואפת לאינסוף הוא תמיד אפס. "מספר" ששואף לאפס כפול "מספר" ששואף לאינסוף זה דבר מוגדר, אבל כדי להגיד את התוצאה צריך לדעת את "קצב" השאיפה לאינסוף ולאפס. אחד חלקי X כפול X זה 1. כפול 2X זה 2, כפול X^2 זה X (אינסוף אם X שואף לאינסוף ואפס אם X שוף ל-0 ו-3.27 אם X שואף ל-3.27). אף אחד לא עקף פה שום בעיה, פשוט כשהגדירו דברים מצאו את הפתרונות, וזה לא מבוסס על אקסיומות, אלא על הגדרה. אין לי מושג איך הגדירו קו ונקודה, אבל ההגדרה שלך היא בטוח לא נכונה (כי אין פה את הרציפות שיש בקו, למשל). וזה לא עקיפת הבעיה, אלא הגדרה של הבעיה. אני מאמין שגודל נקודה שואף לאפס והוא לא אפס מוחלט כי אחרת היא לא היתה קיימת. הבעיה הזאת קיימת גל על ציר המספרים: אם אתה צריך להגריל מספר מסוים בין 0 ל-1, נניח. הסיכוי לכל מספר הוא 0 (ולמעשה שואף לאפס), ובכ"ז אוסף כל המספרים שאתה יכול להגריל ייתן לך "קו" בין אפס ל-1.

 

[Deathatred]

צודק

אכן, להגדרה שהבאתי יש לצרף את התנאי שהפונקציות רציפות. בצורת ההגדרה הנ"ל (פונקציות רציפות מקטע קומפקטי למרחב וקטורי) אורך קו לא מוגדר כ"סכום אורכי הנקודות המרכיבות אותו" אלא פשוט כאינטגרל שמורכב מנגזרות הפונקציות (במידה והן גזירות). למעשה, אורך הקו הוא גבול של סידרה כלשהי (ליתר דיוק, סכומי רימן) ואין בהגדרה הזאת שום קשר הכרחי לוגי למה שאנחנו מבינים אינטיאוטיבית כאורך קו. אומנם, ההגדרה הזאת אכן מתיישבת בהרבה מקרים עם האינטואיציה. עוד דוגמה - גבול של סידרה הוא לא הסוף של סידרה אינסופית אלא מספר שמצורף לה בהתאם להתנהגותה עבור אורכים סופיים (גדולים כרצוננו, אבל סופיים). בקיצור, העצמים המתמטים הם מה שהם נבנו עפ"י ההגדרות הפורמליות ולא בהכרח מה שאנחנו חושבים שהם באופן אינטואיטיבי.