בעצתו של נשר

[Fingertip]

בעצתו של נשר

שאלה שלא הצלחתי: הוכח: "משולש שבו שני חוצי הזויות שווים זה לזה הוא משולש שווה שוקיים." תודה! אהד.

 

[הנשר הנובח]

וחשוב להוסיף ../images/Emo107.gif

א. שיש להשתמש רק בגיאומטריה (ללא טריגו, ווקטורים וכו´) ב. שזו חידה שאהד סיפר לי בפורום אחר, ובינתיים ממש לא הצלחתי לפתור אותה. אני מקווה שבכלל יש לזה פתרון... אבל השעה היא בסך הכל שתיים בלילה !

 

[its moi]

הנה:

המשולשים הצהובים דומים (קל להוכיח) ולכן גם חופפים (יחסי צלעות, וסכום שווה) ולכן גם המשולשים הגדולים חופפים.

 

[its moi]

אופס..

 

[הנשר הנובח]

לא ברור ../images/Emo107.gif

איך הוכחת שהמשולשים הצהובים דומים ? שתי הזוויות שסימנת בהם ב α לא יכולות להיות שוות, כי אז שתי השוקיים היו מקבילות !

 

[its moi]

../images/Emo4.gifצודק../images/Emo9.gif

צריך להוציא אותי להורג על טעות כזאת

 

[הנשר הנובח]

לא להיסחף... ../images/Emo107.gif

אבל אם יהיה לך רעיון אחר תספר לנו, אני בינתיים שובר על זה את הראש...

 

[1ca1]

לי יש רעיון

תשאיר את זוויות הגמא במקום, והרי אלפא=בטא (אני מתכוון אלא מהחוצה זווית) לכן המשולשים הצהובים דומים לפי זווית זווית QED

 

[איגור קרסיק]

למה אלפא - ביתא?

 

[1ca1]

אהה אופס שכחתי את זה צריך להוכיח...

 

[איגור קרסיק]

מכיר

פעם המורה למתמטיקה שלי פתר את הבעיה... הפתרון הוא יחסית מאוד מתחוכם וטיפה ארוך! לצערי שכחתי את כל העניין... [נראה לי שהוא השתמש במעגלים, אבל אני לא בטוח]...

 

[1ca1]

נראה לי עליתי על זה

תסמן את המעגל החסום (מפגש חוצי הזוויות) תוריד את הרדיוס לבסיס... המשיק מאונך לרדיוס בנק´ ההשקה וחוצי הזוויות נחתכים בפרופורציה שווה והגובה לבסיס במשו"ש הוא גם חוצה את זווית הראש לכן שני המשולשים הלבנים למטה (אם תסתכלו בציור תבינו יותר טוב) חופפים זה לזה לפי צלע זווית צלע, ואז אלפא = ביטא לפי זוויות מתאימות במשולשים חופפים

 

[איגור קרסיק]

אבל אתה לא יודע שהוא משו"ש!

 

[yatir]

אם נחבר את בשני

הנקודות שבהם חוצי הזוית פוגשות את הצלעות אז נקבל ישר למקביל לצלע השלישית (בעזרת משפטי הפרופורציה של חוצי זוית)...

 

[yatir]

וא יש את הפתרון!!!

 

[yatir]

סליחה..טעות שלי..התבלבתי עם האותיות

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo35.gif אפשר הסבר ../images/Emo35.gif

 

[EranDavid]

הצעה לפתרון

נעביר קו FE היוצא מנקודה E כך ש BF=BC. (ראה תרשים מצורף) המשולשים BFE=BEC חופפים (צלע-זוית-צלע) המשולשים BDC=BFE חופפים (צלע זוית-צלע) ולכן BEC=BDC מה שאומר שזוית B שווה ל-C, וזהוא מאפיין של משולש שווה-שוקיים- ABC.

 

[הנשר הנובח]

לא נראה לי... ../images/Emo107.gif

למה המשולשים BDC , BFE חופפים ? איזו זווית שווה בשניהם ?

 

[הנשר הנובח]

!EURICA הצלחתי !! ../images/Emo107.gif

ואהוו ! זו היתה השאלה הכי מתישה שנתקלתי בה בגיאומטריה בחיי... מצאתי הוכחה לא מסובכת בכלל, ואפילו בלי דמיון או פרופורציות, רק עם משפטים מאוד בסיסיים ! אך מכיוון שאין מקום בשוליים של ההודעה - אני לא ארשום אותה כאן

סתםם.. נראה קודם אם מישהו אחר יצליח...