בעיה משולבת

[electricity of ice]

בעיה משולבת

של אינטגרציה וגבולות...

לא מצליח להבין לא את הדרך לפתרון האינטגרל ולא את ההצבות של האינסופים (ניסיתי לופיטל, נשארתי תקוע)

אודה מאוד לכל עזרה! אני עושה קורס בשדות אלקטרומגנטים ואני נתקל לא מעט באינטגרלים לא נחמדים שכאלה
(זה אינטגרל שבודדתי מתרגיל מסובך שפתר המרצה, ואלה המעברים המהירים שהוא עשה שם)

 

[סוס כסוף]

זה לא אינטגרל מיידי שאתה אמור לשלוף מן המותן.

כנראה שהמרצה השתמש בטבלת אינטגרליםאו בתוכנה כמו וולפרם. אם אתה רוצה לפתור בעצמך אתה יכול לעבהוד בשיטת ההצבה.
אתה עובר למשתנה חדש

X = atanU ----> dx = a/cos²U*du = a*dU*(1/cos²U)

המכנה של האינטגרל הופך ל
(a²+x²)^1.5 = (a² + a²tan²U)^1.5 = [a²(1+tan²U)]^1.5 = [a²*(1/cos²U)^1.5 = a³*cos³U
dx מציבים גם את הביטוי של

ומקבלים אינטגרל של
⌠dx/(a²+x²)^1.5 =⌠ [a*dU/cos²U] / [a³*cos³U] = ⌠(1/a²)*cosU*dU = (1/a²)*sinU

עכשיו אתה יכול לחזור להצבה המקורית עם המשתנה איקס, אבל זה מיותר. יותר קל לשנות גם את גבולות האינטגרציה למשתנה החדש
X = aTanU
רואים שכאשר X שואף לאינסוף, U שואף ל π/2. וכאשר X שואף למינוס ∞ U שואף ל π.2-/ כמו כן האינטגרל הוא סימטרי, לכן במקום לעשות אינטגרציה π 2- עד π/2+, נעשה פעמיים אינטגרל מאפס עד π/2. אז האינטגרל של sinU מאפס עד π/2 נותן 1 ולכן התוצאה הסופית היא
2*(1/a²)*1 = 2/a²
בקיצור, אני לא ממליץ לך לעשות את התרגיל שאני עשיתי כאן, אלא להיעזר בטבלאות אינטגרלים או תוכנות.

אבל שווה גם להכיר את השיטות שעומדות מאחורי הלהטוטים הנ"ל

 

[electricity of ice]

תודה רבה! אמנם באיחור

תשובה מצוינת, וכמובן שחשובה לי הדרך, לכן מלכתחילה שאלתי

תודה!