בטורניר השחמט

[עריסטו]

בטורניר השחמט

באליפות העולם בשחמט משחקים מספר שחקנים. כל שחקן משחק פעם אחת נגד כל שחקן אחר. האם ייתכן שלכל שחקן X מתקיים התנאי הבא - סכום הנקודות שצברו השחקנים שנוצחו ע"י X קטן מסכום הנקודות שצברו השחקנים שניצחו את X? הערה: הניקוד בשחמט הוא כך - על ניצחון מקבלים נקודה אחת, על תיקו - חצי נקודה ועל הפסד - 0 נקודות.

 

[Ferma]

שאלה לגבי הניסוח של השאלה (../images/Emo58.gif)

במקרה בו תוצאת כל המשחקים היא תיקו. האם התנאי לא מתקיים באופן ריק?

 

[עריסטו]

לא

סכום ריק הוא אפס. לכן במקרה שנתת, לכל P סכום הנקודות שצברו אלה שניצחו אותו הוא 0, וגם סכום הנקודות שצברו אלה שנוצחו על ידו הוא 0.

 

[Ferma]

לא-כך.שאלה...

אולי לא הבנתי את התשובה שלך, אבל אין שחקנים שניצחו את P ואין שחקנים שנוצחו על-ידו. תיקו, כולם קיבלו חצי-נקודה על כל משחק. אנא הסבר במילים אחרות?

 

[עריסטו]

הסבר (או שלא הבנתי את השאלה)

השאלה היתה "האם ייתכן שלכל שחקן X מתקיים התנאי הבא - סכום הנקודות שצברו השחקנים שנוצחו ע"י X קטן מסכום הנקודות שצברו השחקנים שניצחו את X?" האם התכוונת לשאול - האם המקרה בו כל המשחקים הסתיימו בתיקו מראה שזה יתכן? אם זו השאלה, התשובה היא שמקרה זה אינו מראה שזה ייתכן.

 

[Ferma]

אכן, זו השאלה../images/Emo13.gif

מדוע זה לא יתכן? לא הבנתי

האם תוכל בבקשה להסביר לי?

 

[עריסטו]

המקרה הזה אינו דוגמה נגדית

כי לא מתקיים בו "לכל שחקן X, מספר הנקודות שצברו המפסידים ל-X קטן ממספר הנקודות שצברו מנצחי X". למעשה, במקרה שנתת אין אפילו שחקן אחד שמספר הנקודות שצברו המפסידים לו קטן ממספר הנקודות שצברו המנצחים אותו.

 

[ענת אלון]

מה עם (למשל) 0 מפסידים ויש מנצחים?

זה נראה לי כמו שאלה ממש פשוטה. מה פיספסתי?

 

[עריסטו]

../images/Emo2.gif את מי המנצחים ניצחו?

 

[ייץ]

אם הבנתי את הניסוח נכון אז

אפשרי אם הראשון ניצח את כל המשחקים. האחרון הפסיד את כולם. כל השאר הפסידו לראשון ניצחו את האחרון וסיימו בתיקו ביניהם. אם הכוונה היא שאין שניים שסיימו עם אותו מספר נקודות אז המצב אינו אפשרי.

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif

השחקן הראשון לא עומד בתנאי: סכום הנקודות שצברו המנוצחים על ידו אינו קטן מסכום הנקודות שצברו מנצחיו.

 

[טלמון סילבר]

פתרון טכני

לא, לא יתכן. תהי (f(i,j = מספר הנקודות שצבר i במשחקו נגד j. נניח ש- f(i,i)=1/2 תמיד מתקיים: f(i,j)+f(j,i)=1 אפשר לנסח את החידה כך: האם נכון עבור כל i אי-השוויון הבא (להלן כל הסכומים הם על כל השחקנים, ומשתנה הסיכום מצוין בסוגריים מסולסלים):

Σ{j}f(i,j)Σ{k}f(j,k) < Σ{j}f(j,i)Σ{k}f(j,k)​

אם נצמצם משני האגפים את ה-j עבורם f(i,j)=1/2, מתקבל הניסוח המקורי של החידה. עכשיו, אם נסכם את אי-השוויון הנ"ל עבור כל ה-i, נקבל אי-שוויון בין שני ביטויים שהם למעשה שווים.

 

[טלמון סילבר]

במקום המשפט "האם נכון עבור כל i אי-השוויון"

צריך להיות: "האם יכול להתקיים עבור כל i אי-השוויון".

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[טלמון סילבר]

לצערי זה ../images/Emo128.gif לא נכון -

הביטויים אינם שווים...

 

[עריסטו]

טוב, אז ../images/Emo128.gif ../images/Emo10.gif