א וא אפס

[מילקמן]

א וא אפס

ידוע שהעוצמה של הקטע 0,1 ב R היא א וגם העוצמה של ריבוע שאורך צלעו אחד ב R^2 היא א מהי ההתאמה ההפיכה בינהם!?!?!?

 

[Fingertip]

בבקשה...

לשם הנוחות, נניח כי צלעות הריבוע הנ"ל מקבילות לצירים, והקודקוד השמאלי תחתון שלו מונח על ראשית הצירים. כלומר, כל נקודה בתוך הרבוע ניתנת להצגה כ-(a,b) כאשר a,b הן נקודות מתוך הקטע (0,1). כידוע, לכל מספר ממשי x בקטע (0,1) יש הצגה עשרונית יחידה:

0.a1a2a3a4...​

כך שאין לסדרה סיפא שהיא 9999999... ובכן, נניח כי:

a=0.a1a2a3... b=0.b1b2b3...​

נגדיר:

f(a,b)=0.a1b1a2b2a3b3...​

זוהי פונקציה חח"ע, שכן אם הזוג (a,b) שונה מהזוג (c,d), הרי שהם נבדלים באחד מהמספרים המתאימים. אם, למשל a שונה מ-c, הרי שיש שהספרה ה-i של a שנסמנה ב-ai שונה מהספרה ה-i של c שנסמנה ב-ci. ולכן הספרה ה-2i-1 של (f(a,b תהיה שונה מהספרה ה-2i-1 של (f(c,d, ולכן זו התאמה חח"ע. בצורה דומה אפשר להראות שאם b שונה מ-c אז גם התמונות שונות. נותר להראות שזו התאמה על הקטע. אבל זה טריוויאלי! אם ניקח מספר כלשהו בקטע, נאמר:

0.a1a2a3a4...​

אזי נגדיר:

a=0.a1a3a5... b=0.a2a4a6...​

ואז ...f(a,b)=0.a1a2a3 (ברור שהנקודה נמצאת בתוך הריבוע הנ"ל...) סה"כ, f שלנו היא התאמה חח"ע ועל, ולכן עוצמת הנקודות שבתוך הריבוע שווה לעצמת הנקודות שבתוך הקטע. מקווה שעזרתי. אהד.

 

[מילקמן]

אהבתי...

תודה רבה.. זאת הדרך היחידה?

 

[Fingertip]

הממ... לא נראה לי...

אני יכול לנסות לחשוב על דרך אחרת. זה דחוף? אהד.

 

[n rain]

תודה!

שברנו את הראש יומיים. יקולל טארסי!

 

[מילקמן]

../images/Emo132.gif

כך אמרו אנשי מצדה... החמיתה שלך...

 

[jaXon]

במקרה זה מדובר במהפכן מקסיקני

הארגון של ה Zapatistas הוא על שמו

 

[jaXon]

מקרה מעניין יותר

ראשית, יופי של פתרון! השאלה הזכירה לי מקרה אחר שלא מצאתי פתרון: הקבוצות הן [0,1] ו (0,1] יש להן אותן עוצמה א, ולכן קיימת פונקציית שקילות בינהן, שלא פשוט למצוא כנראה. למישהו יש רעיון?

 

[איגור קרסיק]

....

נגדיר את f מהקטע הסגור לחצי סגור בצורה הבאה: לכל n>=0 נתאים את

1/2^n​

ל-

1/2^(n+1)​

. לכל מספר אחר בקטע הסגור נתאים את עצמו. קל לבדוק שזו היא פונקציה חח"ע ועל.

 

[Fingertip]

דרך נוספת...

בבירור עוצמת הקטע (0,1) זהה לעוצמת הקטע (0,2) (הפונקציה f(x)=2x) אבל [0,1) מוכל ב-(0,2) ולכן יש לו עוצמה שאינה עולה על א. כמו-כן, יש לו עוצמה של לפחות א, שכן הוא מכיל את (0,1) ולכן עוצמתו בדיוק א. אהד.

 

[איגור קרסיק]

אבל אהד..

הוא חיפש פונקצית שקילות.

 

[Fingertip]

באמת?

אז לא חשוב... בכל מקרה, זו עדיין הוכחה תקפה לדעתי, והיא מוכיחה את הקיום של פונקציית השקילות. נו, טוב... בתור פיצוי, הנה חידה ששמעתי ממיכל מושקוביץ בפורום מבני נתונים (אין לך מושג מה הולך שם... ממש הפגנת פמיניסטיות ראויה לשמה!): בממלכה אחת (לא חשוב איזו) מרעילים האזרחים זה את זה על בסיס קבוע. אם אדם שותה רעל ומייד לאחריו רעל חזק יותר, הרעל החזק מנטרל את השפעת הרעל החלש והאדם חוזר לקו-הבריאות. על-כן רוצה המלך לרקוח את הרעל החזק ביותר. לצורך זה המלך מזמין אליו את יועצו האישי ואת מכשף החצר. הוא מבקש מכל אחד לרקוח את הרעל החזק ביותר שביכולתם ומכריז כי למחרת ייערך מבחן לקביעת הרעל החזק מבין השניים. המבחן ייערך כך: כל אחד מהשניים ישתה קודם את הרעל שיביא חברו ואחרי-כן את רעלו שלו. הרעל החזק יהיה שייך אם-כן למי שיוותר בחיים לאחר המבחן. היועץ יודע כי המכשף מסוגל לרקוח את הרעל החזק בממלכה, אולם במבחן שנערך למחרת לעיניי כל אנשי החצר דווקא המכשף נפל ומת ואילו היועץ זכה לחיים ארוכים, שנים אחרי סיפור המעשה. הכיצד? מעניין אם הפתרון שלי נכון... היא עדיין לא ענתה לי.

אהד.

 

[איגור קרסיק]

תשובה

היועץ לפני התחרות ישתה את הרעל שלו, אבל מה שיתן למלך [בשביל התחרות] לא יהיה רעל, אלא סתם מים [למשל].

 

[Fingertip]

זה גם מה שאני עניתי. מעניים אם לזה

התכוון המשורר... אהד.

 

[איגור קרסיק]

אתה בטח התכוונת ל:התכוונה המשוררת

אגב, איך זה קשור לנושא "מבני נתונים"?

 

[Fingertip]

זה לא... זה קשור למלחמת המינים

שהולכת שם... הנה מה שקרה: אייל (המרכז) החליט שעל מנת שהפורום יעסוק אך ורק בנושאים הקשורים לקורס, הוא יפתח תת-נושא "בית הקפה של הקורס" ששם אני אוכל לשים את כל ההודעות שלי שלא קשורות ישירות לקורס. בכל מקרה, המקום התחיל להיות מקום המפגש החברתי הוירטואלי של חלק מחברי הפורום (ליתר דיוק, אני, גל עמרם, מיכאל וילנסקי, מנחה ושני המרכזים) בכל מקרה, באיזהשהו שלב, אייל הביא את ההוכחה ש"בנות=רשע", והוא אמר: "טוב, ממילא אין כאן בנות, אז הנה הוכחה מתמטית נחמדה: " ואז הבאתי את כל הטעויות האלה, כמו שמצמצמים סימני עצרת וכו´, ואז התחיל ויכוח למה אין בנות בבית הקפה, ומאז מיכל מנסה להוכיח (אין לי מושג למי, אני די משוכנע כבר ממזמן) שבנות חכמות לפחות כמו בנים... אהד.