א ב של סדרות

[עריסטו]

מגדירים סדרה של מחרוזות כך:
א
ב
בא
באב
באבבא
באבבאבאב
באבבאבאבבאבבא
באבבאבאבבאבבאבאבבאבאב
...
המחרוזת הראשונה היא א, השניה היא ב, ואחר כך המחרוזת מספר n היא שרשור של המחרוזת במקום n-1 והמחרוזת במקום n-2. כך מקבלים שהאותיות א מופיעות במקומות 2, 5, 7, 10,... והאותיות ב מופיעות במקומות 1, 3, 4, 6, 8, 9,...
הוכיחו: אם האות א ה-n-ית מופיעה במקום x והאות ב ה-n-ית מופיעה במקום y, אז x-y=n.

 

[הפרבולה1]

נגדיר
סידרת א ה-n-ית zzz a( n ) = 2 5 7 10 13 15 18 20 .... n=1,2,3..... zzz

סידרת ב ה-n-ית zzz b( n ) = 1 3 4 6 8 9 11 12 14 16.... n=1,2,3..... zzz

צריך להוכיח ש a( n )-b( n) =n


מתקיים

zzz a( n ) = a[ n- f(m) ]+ f(m+2) zzz
zzz b( n ) = b[ n-f(m) ]+ f(m+1) zzz

בתחום zzz f(m) < n <= f(m+1) zzz

והפונקציה f(m) מחזירה את הערך בסידרת פיבונצי כלומר .... f(1)=1 f(2)=1 f(3)=2 f(4) =3 f(5)=5 f(6)=8

נניח באינדוקצה שמתקיים zzz a(k )- b(k) = k zzz לכל k קטן מ n ( ובדיקה מראה שזה נכון לגבי ... k=1,2,3 )

zzz a( n) -b( n )= a[ n- f(m) ]+ f(m+2) - b[ n-f(m) ]+ f(m+1) = n - f(m) + f(m+2) - f(m-1) = n zzzzz

​

 

[עריסטו]

נכון