אתרים ושאלה

[Drazick]

אתרים ושאלה

יש למישהו אתרים ללימוד מתמטיקה? מהבסיס (אלגברה פשוטה) עד לרמה הכי גבוהה (אריתמטיקה, אינפי, סדרות וכו'). אני מאוד מתעניין בתחום אך דל בידע נכון להיום. שאלה נוספת, ישנה צורה שנקראת הפתית של "קוך". למעשה משולש שווה צלעות שעל שליש מכל צלע בנו משולש נוסף שווה צלעות. וכך עד אינסוף. אני יודע את הפונקציה להיקף הצורה החדשה: 4/3^n. כלומר 4/3 של הצורה המקורית וכך הלאה. אני מעוניין לדעת למה זה שואף, כלומר מס' האיברים בסדרה אינסופי אך הוא מתכנס להיקף מסויים סופי (כל להוכיח זאת ע"י חסימת המשולש המקורי במעגל). כיצד אני מוצא למה הסדרה מתכנסת (כביטוי של היקף המשולש המקורי).

 

[freq fraq]

לגבי פתית השלג של קוך

העובדה שניתן לחסום אותו במעגל אומרת כי השטח (!) שלו מתכנס להיקף סופי מסויים (במקום לחשב חיפשתי את הערך ב mathworld - שטח הגבול הוא 1.6 פעמים השטח המקורי). ההיקף לעומת זאת, שואף לאינסוף, כלומר גדל ללא הגבלה.

 

[freedom rider]

תשובות

יש לנו דפי קישורים לכל מיני אתרים שאולי אפשר ללמוד מהם משהו. כמו כן, במאמרי הפורום יש לנו מאמר על פרקטלים ("פרקטלים בשקל") - שם תוכל למצוא את התשובה לשאלתך השניה.

 

[Drazick]

היקף פתית קוך

אני שואל משהו אחר, אם אני יודע את ההיקף של המשולש הקודם, ואת הגידול בהיקף בכל שלב (4/3 מההיקף המקורי) כיצד אני יכול להוכיח למה הנ"ל מתכנס. בסה"כ סדרה אינסופית אבל שואפת למשהו (כמו ש- 1/2+1/4+1/8 וכן הלאה שואף ל-1). איך אני מחשב לכמה זה שואף?

 

[yuvalmadar]

הניחוש שלי

(בתור אדם שלא למד מעולם חדוו"א) הוא שצריך למצוא מספר שאתה מוכיח שלשום n הסכום לא גדול ממנו. והגיוני שהוא צריך להיות גם המספר המינימלי המקיים תכונה זו (כי אחרת הטור שציינת היה שואף גם ל2, 3 ו4)...

 

[freq fraq]

זה בדיוק מה שאמרתי

זה לא מתכנס. זה נכון שיש סדרות אינסופיות ששואפות למספר סופי, אבל יש גם סדרות אינסופיות ששואפות לאינסוף, כלומר הולכות וגדלות ללא הגבלה. זה בדיוק המקרה של היקף פתית השלג של קוך - ההיקף הולך וגדל, ללא הגבלה

 

[Drazick]

אבל...

ניתן להוכיח שהשטח מתכנס ל- 1.6 משטח המשולש המקורי נכון? אתה יודע איך? יש לך את ההוכחה? עכשיו, לדעתי, נתון שמדובר במשולש שווה צלעות לכן יש התאמה בין ההיקף לשטח, אם השטח מתכנס לנתון מסויים גם ההיקף. פשוט מאוד ההיקף בסופו של דבר סופי, הרי ניתן להקיף אותו במעגל.

 

[Blade2]

אם ניתן להקיף במעגל אז השטח סופי

תחשוב על זה ככה - כל הזמן נוספים עוד זיגזגים כאלה להיקף, והם תורמים פחות ופחות שטח, וכל שהפיתולים האלה מתווספים ההיקף גדל ללא הגבלה, לעומת השטח שמוגבל.

 

[Drazick]

ובכל זאת...

שמע, אפשר למצוא בקלות מתאם בין הקף משולש שווה צלעות לשטחו. מכאן שאם השטח מתכנס למשהו (והרי לעולם לא מגיע אליו) אז גם ההיקף... לא? ואם לא ככה, אז פשוט עזרו לי להבין כיצד אני יודע למצוא למה הסדרה הנ"ל שואפת: X*n^4/3 (רק הפוך - לא ממש קל לכתוב כאן את זה). כלומר סדרה שהאיבר ה-N שלה מתואר ע"י העלאת 4/3 ב-n כפול הגדול ההתחלתי (X). זה הכל...