אקדמי חמישי
- פותח הנושא reckon
- פורסם בתאריך
מרוכבות, רדיוס התכסנות
זה פיתרון של שאלת נכון/לא נכון ממבחן.
אמרנו שהפונקציה אנליטית בעיגול היחידה, נכון? הנקודה הסינגולרית נמצאת על השפה ולא כלולה בתחום- אז אין שום בעיה. אבל יש לי בעיה עם המסקנה- אני מסכים עם זה שהמרחק בין הסינגולריות לנקודת המדידה הוא שורש 5 חלקי 2
אבל לשעתי זה לא רדיוס התכנסות כי הוא חורג התחום. כלומר הפונקציה מתכנסת באוזרים בהם היא גם לא אנליטית.
האם זה לא אומר שרדיוס התכנסות חייב להיות 2 בשביל להיכנס כולו לתחום?
זה פיתרון של שאלת נכון/לא נכון ממבחן.
אמרנו שהפונקציה אנליטית בעיגול היחידה, נכון? הנקודה הסינגולרית נמצאת על השפה ולא כלולה בתחום- אז אין שום בעיה. אבל יש לי בעיה עם המסקנה- אני מסכים עם זה שהמרחק בין הסינגולריות לנקודת המדידה הוא שורש 5 חלקי 2
אבל לשעתי זה לא רדיוס התכנסות כי הוא חורג התחום. כלומר הפונקציה מתכנסת באוזרים בהם היא גם לא אנליטית.
האם זה לא אומר שרדיוס התכנסות חייב להיות 2 בשביל להיכנס כולו לתחום?
השאלה לא מנוסחת כמו שצריך לדעתי
הרעיון הכללי במרוכבות - בהינתן שיש לך מספר נקודות סינגולריות במישור, ואתה מפתח טור טיילור סביב נקודה כלשהי, אז רדיוס ההתכנסות הוא עד הנקודה הסינגולרית הקרובה ביותר.
עכשיו מה שהם עשו זה לחשב את הפונקציה בדיסק היחידה ע"פ הטור טיילור.
עכשיו לכאורה עשו הרחבה מירומורפית לשאר המישור המרוכב, ע"י שימוש בנוסחא f(z)=1/(1-z)^2 (שזה החלק הבעייתי לכאורה כאן, שאתה כנראה התבלבלת מהניסוח), ואז דנים בעצם בפיתוח טור טיילור לפונקציה המירומורפית הכללית, בנקודה i/2.
ואז עושים את כל החישוב שדיברו עליו מעלה, ואין בעיה, הפונקציה f הולומורפית בכל נקודה השונה מ-z=1.
אז השאלה היא בעצם על היחס בין f שהוגדרה על דיסק היחידה ובין ההרחבה המירומורפית שלה.
הקטע שבמרוכבות ההרחבה הזו היא יחידה, אז הזיהוי ביניהם שנעשה באופן implicit כמו שהערת, הוא כנראה זיהוי בסדר.
אני הייתי מנסח שאלה כמו - נתונה הפונקציה f(z) עם טור הטיילור כך וכך סביב 0, חשבו את רדיוס ההתכנסות של הטור, ומצאו את רדיוס ההתכנסות של f סביב i/2.
[נ.ב. כדאי לומר הולומורפית במקום אנליטית, זה הרגל שכדאי לסגל לעצמך כשאתה צעיר
].
הרעיון הכללי במרוכבות - בהינתן שיש לך מספר נקודות סינגולריות במישור, ואתה מפתח טור טיילור סביב נקודה כלשהי, אז רדיוס ההתכנסות הוא עד הנקודה הסינגולרית הקרובה ביותר.
עכשיו מה שהם עשו זה לחשב את הפונקציה בדיסק היחידה ע"פ הטור טיילור.
עכשיו לכאורה עשו הרחבה מירומורפית לשאר המישור המרוכב, ע"י שימוש בנוסחא f(z)=1/(1-z)^2 (שזה החלק הבעייתי לכאורה כאן, שאתה כנראה התבלבלת מהניסוח), ואז דנים בעצם בפיתוח טור טיילור לפונקציה המירומורפית הכללית, בנקודה i/2.
ואז עושים את כל החישוב שדיברו עליו מעלה, ואין בעיה, הפונקציה f הולומורפית בכל נקודה השונה מ-z=1.
אז השאלה היא בעצם על היחס בין f שהוגדרה על דיסק היחידה ובין ההרחבה המירומורפית שלה.
הקטע שבמרוכבות ההרחבה הזו היא יחידה, אז הזיהוי ביניהם שנעשה באופן implicit כמו שהערת, הוא כנראה זיהוי בסדר.
אני הייתי מנסח שאלה כמו - נתונה הפונקציה f(z) עם טור הטיילור כך וכך סביב 0, חשבו את רדיוס ההתכנסות של הטור, ומצאו את רדיוס ההתכנסות של f סביב i/2.
[נ.ב. כדאי לומר הולומורפית במקום אנליטית, זה הרגל שכדאי לסגל לעצמך כשאתה צעיר
זה טרנספורם ידוע
http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Table_of_selected_Laplace_transforms
זה פשוט cos(t) (כפול הביסייד, כי זה לפלאס חד-צדדי).
אפשר גם לפרק לשברים חלקיים מרוכבים, אומנם צריך להבין איך לפרש את זה, אבל זה יוצא נכון (לפונקציות נחמדות מספיק).
יש גם דרך לפרש את זה דרך טרנספורם פורייה...
http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Table_of_selected_Laplace_transforms
זה פשוט cos(t) (כפול הביסייד, כי זה לפלאס חד-צדדי).
אפשר גם לפרק לשברים חלקיים מרוכבים, אומנם צריך להבין איך לפרש את זה, אבל זה יוצא נכון (לפונקציות נחמדות מספיק).
יש גם דרך לפרש את זה דרך טרנספורם פורייה...
זה לא קשה
במרחב המטריצות האנטי-סימטריות אין לך אלכסון.
נחשב למשל את הסימטריות.
אפשרות ראשונה - 1 במקום כלשהו על האלכסון, 0 באחרים, ותקבל n.
עכשיו לגבי מחוץ לאלכסון, אם שמת 1 במקום כלשהו מעל האלכסון, תצטרך לשים 1 במקום המקביל לו מתחת לאלכסון (או מינוס אחת במקרה של מטריצות אנטי-סימטריות).
כמה מקומות כאלה יש לך ב"משולש" הזה? zz n(n-1)/2 zz
תוסיף את ה-n ממקודם ותקבל מה שרצית.
אני משאיר לך להראות שהקבוצה שתיארתי היא בת"ל ופורשת.
במרחב המטריצות האנטי-סימטריות אין לך אלכסון.
נחשב למשל את הסימטריות.
אפשרות ראשונה - 1 במקום כלשהו על האלכסון, 0 באחרים, ותקבל n.
עכשיו לגבי מחוץ לאלכסון, אם שמת 1 במקום כלשהו מעל האלכסון, תצטרך לשים 1 במקום המקביל לו מתחת לאלכסון (או מינוס אחת במקרה של מטריצות אנטי-סימטריות).
כמה מקומות כאלה יש לך ב"משולש" הזה? zz n(n-1)/2 zz
תוסיף את ה-n ממקודם ותקבל מה שרצית.
אני משאיר לך להראות שהקבוצה שתיארתי היא בת"ל ופורשת.
דרך אפשרית
מטריצה סימטרית הרי נקבעת ע"י הסקלרים הנמצאים על האלכסון ומעליו.
כמה מקומות כאלו יש לנו? נסתכל על העמודות משמאל מימין.
יש לנו 1 , ואז 2,ואז 3, וכך הלאה עד n (כל העמודה האחרונה בעצם). כלומר סה"כ n(n+1)/2<===1+2+..+n.
ידוע כי מימד מרחב המטריצות הריבועיות מסדר n הוא n^2.
קל להראות כי הוא גם מהווה סכום ישר של מימד מרחב הסימטריות והאסימטריות. לכן מפה מקבלים את מימד מרחב האסימטריות n(n-1)/2
(כמובן שצריך להוכיח פורמלית חלק מהדברים אבל זה הרעיון..)
מטריצה סימטרית הרי נקבעת ע"י הסקלרים הנמצאים על האלכסון ומעליו.
כמה מקומות כאלו יש לנו? נסתכל על העמודות משמאל מימין.
יש לנו 1 , ואז 2,ואז 3, וכך הלאה עד n (כל העמודה האחרונה בעצם). כלומר סה"כ n(n+1)/2<===1+2+..+n.
ידוע כי מימד מרחב המטריצות הריבועיות מסדר n הוא n^2.
קל להראות כי הוא גם מהווה סכום ישר של מימד מרחב הסימטריות והאסימטריות. לכן מפה מקבלים את מימד מרחב האסימטריות n(n-1)/2
(כמובן שצריך להוכיח פורמלית חלק מהדברים אבל זה הרעיון..)
מרוכבות, סיווג נק' סינגולריות
נגיד ומצאתי את כל הנקודות המדוברות. איך אני קובע "רשמית" (בלי לנחש) את סוג הנקודות?
בתרגיל ספציפי זה- לפי מה קובעים שהאפסים של הסינוס הם קטבים (זה הגיוני מאוד, אבל אני רוצה נימוק חד משמעי). לפי מה קובעים שבשליש זו סליקה?
ולגבי Z=0 אני לא בטוח שאני יכול לקבוע( משום מה הוא גם לא מופיע כנקודה בעייתית בפיתרון).
נגיד ומצאתי את כל הנקודות המדוברות. איך אני קובע "רשמית" (בלי לנחש) את סוג הנקודות?
בתרגיל ספציפי זה- לפי מה קובעים שהאפסים של הסינוס הם קטבים (זה הגיוני מאוד, אבל אני רוצה נימוק חד משמעי). לפי מה קובעים שבשליש זו סליקה?
ולגבי Z=0 אני לא בטוח שאני יכול לקבוע( משום מה הוא גם לא מופיע כנקודה בעייתית בפיתרון).
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.