אני צריכה עזרה
- פותח הנושא xcxc15
- פורסם בתאריך
המשפט שלך קצת אוקסימורון....
לגבי העובדה שזה כאוטי. [בד"כ מסמנים את זה ב-R,T,L או משהו כזה, אבל זה לא קריטי]. מה זה סביבות פתוחות במרחב הזה (אני מעדיף לעבוד באופן טופולוגי, למרות שהמרחב הזה כמובן מטריזאבילי, אני גם אקח את הסדרות החד-צדדיות (כלומר ההעתקה סיגמא איננה הפיכה, יש אנלוגים מיידים גם למרחב הסדרות הדו-צדדיות, והמרחב הזה הוא גם מטריזאבילי))? סביבה פתוחה במרחב הזה הוא לקבוע מספר סופי של קוארדינטות, מה שנקרא קבוצות צילינדריות. נניח בה"כ קבענו את zz x1,...,xn zz (אם אני מרשה ל-xi להיות גם 1 וגם אפס אז זה למעשה איחוד של שתי הקבוצות הצילינדריות המתאימות). תבחרי דלתא. נסתכל על k האיברים הראשונים אחרי n של הנקודה x. טענה - קיים איבר אחר y, בסביבת x כך ש zz d(T^nx,T^ny)>(1-(1/2)^n)/0.5=2-(1/2)^(n-1) zz הוכחה - נסתכל על k האיברים הראשונים אחרי n של x. נגדיר yi=xi עבור i בין 1 ל-n. נגדיר yi=1-xi עבור i בין n+1 לבין n+k. ואח"כ נניח נגדיר yi=0. המרחק בין T^nx לבין T^ny, שקול למעשה למרחק של הסיפא שמתחילה ב xn+1 לבין הסיפא שמתחילה ב yn+1. עכשיו המרחק הזה (לפי אי-שיוויון המשולש והגדרת המטריקה במרחב זה) הוא לפחות zz sigma(1/2^i) zz עבור i בין 1 לבין k, ומכאן קיבלנו את הדרוש. לגבי התנאים האחרים, הערבוב הטופולוגי הוא מיידי, קחי סביבת בסיס פתוחה U=X1x...xXnx{0,1}^N נדחוף אותה n פעמים ונקבל zz T^nU={0,1}^N zz שזה כל המרחב, ולכן החיתוך שלו עם כל קבוצה פתוחה אחרת יהיה לא ריק. לגבי הצפיפות של איחוד המסלולים המחזוריים, הרעיון הוא תבחרי דלתא, אני אבחר מסלול מחזורי שיתקרב אליך. אני אקרב את הסדרה של הנקודה שתתני לי עד כדי דלתא (זה צריך בערך בחירה של איזה log2(delta) מהמקומות משהו כזה), אח"כ אני ארחיב את זה באופן סדרתי (כלומר פשוט לשכפל את הסדרה הזאת עד אינסוף, וקיבלתי מסלול מחזורי), והנקודה הזאת תהיה קרובה עד כדי דלתא מהמספר שלך, מארביטריריות דלתא, נקבל צפיפות. סה"כ, כאוטיות...
לגבי העובדה שזה כאוטי. [בד"כ מסמנים את זה ב-R,T,L או משהו כזה, אבל זה לא קריטי]. מה זה סביבות פתוחות במרחב הזה (אני מעדיף לעבוד באופן טופולוגי, למרות שהמרחב הזה כמובן מטריזאבילי, אני גם אקח את הסדרות החד-צדדיות (כלומר ההעתקה סיגמא איננה הפיכה, יש אנלוגים מיידים גם למרחב הסדרות הדו-צדדיות, והמרחב הזה הוא גם מטריזאבילי))? סביבה פתוחה במרחב הזה הוא לקבוע מספר סופי של קוארדינטות, מה שנקרא קבוצות צילינדריות. נניח בה"כ קבענו את zz x1,...,xn zz (אם אני מרשה ל-xi להיות גם 1 וגם אפס אז זה למעשה איחוד של שתי הקבוצות הצילינדריות המתאימות). תבחרי דלתא. נסתכל על k האיברים הראשונים אחרי n של הנקודה x. טענה - קיים איבר אחר y, בסביבת x כך ש zz d(T^nx,T^ny)>(1-(1/2)^n)/0.5=2-(1/2)^(n-1) zz הוכחה - נסתכל על k האיברים הראשונים אחרי n של x. נגדיר yi=xi עבור i בין 1 ל-n. נגדיר yi=1-xi עבור i בין n+1 לבין n+k. ואח"כ נניח נגדיר yi=0. המרחק בין T^nx לבין T^ny, שקול למעשה למרחק של הסיפא שמתחילה ב xn+1 לבין הסיפא שמתחילה ב yn+1. עכשיו המרחק הזה (לפי אי-שיוויון המשולש והגדרת המטריקה במרחב זה) הוא לפחות zz sigma(1/2^i) zz עבור i בין 1 לבין k, ומכאן קיבלנו את הדרוש. לגבי התנאים האחרים, הערבוב הטופולוגי הוא מיידי, קחי סביבת בסיס פתוחה U=X1x...xXnx{0,1}^N נדחוף אותה n פעמים ונקבל zz T^nU={0,1}^N zz שזה כל המרחב, ולכן החיתוך שלו עם כל קבוצה פתוחה אחרת יהיה לא ריק. לגבי הצפיפות של איחוד המסלולים המחזוריים, הרעיון הוא תבחרי דלתא, אני אבחר מסלול מחזורי שיתקרב אליך. אני אקרב את הסדרה של הנקודה שתתני לי עד כדי דלתא (זה צריך בערך בחירה של איזה log2(delta) מהמקומות משהו כזה), אח"כ אני ארחיב את זה באופן סדרתי (כלומר פשוט לשכפל את הסדרה הזאת עד אינסוף, וקיבלתי מסלול מחזורי), והנקודה הזאת תהיה קרובה עד כדי דלתא מהמספר שלך, מארביטריריות דלתא, נקבל צפיפות. סה"כ, כאוטיות...
../images/Emo128.gif חלילה וחס
מערכת דינמית (טופולוגית נניח, ונניח שהמערכת היא בזמן בדיד, האנלוג למערכת בזמן רציף די דומה) היא כאוטית אם: 1. יש תלות חזקה בתנאי התחלה (אפקט הפרפר) כמו שאמרת. (מה גם התלות לא מובילה להפרש לא חסום, אלא אומרת שלכל סביבה יש נקודה קרובה מאוד (=בסביבה) וקיים n, שמרחק בעתיד לאחר n צעדים יהיה רחוק, זה לא אומר על ההתנהגות האסימפטוטית או משהו, זה רק מרמז משהו על דטרמיניסטיות בזמן "עתיד קרוב" אם תרצה). 2. המערכת היא "מערבבת טופולוגית" (המונח מגיע מהתורה הארגודית, שם יש מושג של מערכת מערבבת (Strong Mixing ו-Weak Mixing), למערכות טופולוגיות זה אומר בגדול שלכל A,B פתוחות לא ריקות, קיים n כך ש- f^n(A) intersect B לא ריק, כלומר אם תזיז את הקבוצה שלך מספיק במרחב תתקרב להרבה מהנקודות שלו (הרבה במובן הטופולוגי שונה כמובן מהרבה במבון המידתי, ומה שמעניין הוא שאין קשר בין ערבוב מידתי (בתורה הארגודית) ובין ערבוב טופולוגי למרחבים כלליים)). 3. איחוד המסלולים המחזורים הוא קבוצה צפופה במרחב שלך (מאחר שבד"כ מניחים תמיד מרחב מטרי ו-second countable, וכמובן אינסופים, זה בפרט אומר שיש לך אינסוף מסלולים מחזוריים (ד"א לחלק ניכר מהאפליקציות מניחים מרחב קומפקטי (או במקרה הארגודי, מרחב ממידה אחת)). תרגיל (לא קשה) הוא להראות ש2+3 גוררים את 1, כלומר 1 הוא לא תנאי מספיק לכאוס. דוגמא טובה לכך אפשר לראות בהעתקות על הטורוס T^2=S^1xS^1 אני אגדיר zz f(x,y)=(2x,y+a) zz כאשר a מספר אי-רציונאלי (מודולו 1, וכן כל החיבור והכפל נעשה מודולו 1, אם קשה לך לחשוב על זה, תחשוב על S^1=R/Z וכן T^2=R^2/Z^2, והפעולה שאתה מקבל מושרית מהפעולה על המישור דרך המעבר דרך המנה). ראשית יש כאן תלות חזקה בתנאי התחלה, אני אפתח את x לפי בסיס 2, ואבחר מספר מספיק קרוב, ואח"כ אני אחתוך את הקירוב למשל (או שאבחר הכל 1, וכו', אתה מבין לאן אני חותר) ואחרי מספיק זמן נפרדתי ממך (לפחות בקוארדינטה הראשונה, וזה מספיק לי). מצד שני, המערכת לא ארגודית, בעיקר כי תנאי 3 לא מתקיים, כי למעשה אין מסלולים מחזוריים. כעת טענה נחמדה היא להראות שההעתקה y->y+a על S^1 מייצרת לך סדרה צפופה של נקודות (קוראים למערכת זו מערכת קרוניקר, היא אפילו מערכת מינימלית (זה מה שאמרתי לך להוכיח
), אפשר גם בכלים יותר מתקדמים של תורה ארגודית להראות שהיא ארגודית (זה ברור, אם תרצה זאת ההגדרה של מידת האר/מידת לבג על המעגל), ושהנקודות שתקבל הן בעלות התפלגות אחידה (זה כמובן נותן לך צפיפות, במרחב האוסדורף קומפקטי)). בגלל שקיבלת סדרה צפופה, היא בהכרח לא מחזורית (אחרת?!?) וסיימת. שואלת השאלה המקורית בטח מתעניינת במערכות דיפרנציאליות, אז במקרה הזה, הסיפור פשוט, מערכות לינאריות אינן יכולות להיות כאוטיות, לא יעזור בית-דין (במימד סופי, אני לא רוצה לתת כאן הצהרות על אופרטורים דיפרנציאליים). לגבי מערכות כלליות. במישור, (במטריקה האוקלידית), אין מערכות דיפרנציאליות כאוטיות (תוצאה ישירה של משפט פואנקרה-בנדיקסון). ולכן, צריך לעלות למימד 3 לפחות (כמו כל תמונות הפרפרים האלה) או לחילופין לעבוד ביריעות שאינן שטוחות (נראה לי אפילו תצטרך גיאומטריה היפרבולית שם, וזה לא נראה לי יעבוד בגיאומטריה ספרית).
מערכת דינמית (טופולוגית נניח, ונניח שהמערכת היא בזמן בדיד, האנלוג למערכת בזמן רציף די דומה) היא כאוטית אם: 1. יש תלות חזקה בתנאי התחלה (אפקט הפרפר) כמו שאמרת. (מה גם התלות לא מובילה להפרש לא חסום, אלא אומרת שלכל סביבה יש נקודה קרובה מאוד (=בסביבה) וקיים n, שמרחק בעתיד לאחר n צעדים יהיה רחוק, זה לא אומר על ההתנהגות האסימפטוטית או משהו, זה רק מרמז משהו על דטרמיניסטיות בזמן "עתיד קרוב" אם תרצה). 2. המערכת היא "מערבבת טופולוגית" (המונח מגיע מהתורה הארגודית, שם יש מושג של מערכת מערבבת (Strong Mixing ו-Weak Mixing), למערכות טופולוגיות זה אומר בגדול שלכל A,B פתוחות לא ריקות, קיים n כך ש- f^n(A) intersect B לא ריק, כלומר אם תזיז את הקבוצה שלך מספיק במרחב תתקרב להרבה מהנקודות שלו (הרבה במובן הטופולוגי שונה כמובן מהרבה במבון המידתי, ומה שמעניין הוא שאין קשר בין ערבוב מידתי (בתורה הארגודית) ובין ערבוב טופולוגי למרחבים כלליים)). 3. איחוד המסלולים המחזורים הוא קבוצה צפופה במרחב שלך (מאחר שבד"כ מניחים תמיד מרחב מטרי ו-second countable, וכמובן אינסופים, זה בפרט אומר שיש לך אינסוף מסלולים מחזוריים (ד"א לחלק ניכר מהאפליקציות מניחים מרחב קומפקטי (או במקרה הארגודי, מרחב ממידה אחת)). תרגיל (לא קשה) הוא להראות ש2+3 גוררים את 1, כלומר 1 הוא לא תנאי מספיק לכאוס. דוגמא טובה לכך אפשר לראות בהעתקות על הטורוס T^2=S^1xS^1 אני אגדיר zz f(x,y)=(2x,y+a) zz כאשר a מספר אי-רציונאלי (מודולו 1, וכן כל החיבור והכפל נעשה מודולו 1, אם קשה לך לחשוב על זה, תחשוב על S^1=R/Z וכן T^2=R^2/Z^2, והפעולה שאתה מקבל מושרית מהפעולה על המישור דרך המעבר דרך המנה). ראשית יש כאן תלות חזקה בתנאי התחלה, אני אפתח את x לפי בסיס 2, ואבחר מספר מספיק קרוב, ואח"כ אני אחתוך את הקירוב למשל (או שאבחר הכל 1, וכו', אתה מבין לאן אני חותר) ואחרי מספיק זמן נפרדתי ממך (לפחות בקוארדינטה הראשונה, וזה מספיק לי). מצד שני, המערכת לא ארגודית, בעיקר כי תנאי 3 לא מתקיים, כי למעשה אין מסלולים מחזוריים. כעת טענה נחמדה היא להראות שההעתקה y->y+a על S^1 מייצרת לך סדרה צפופה של נקודות (קוראים למערכת זו מערכת קרוניקר, היא אפילו מערכת מינימלית (זה מה שאמרתי לך להוכיח
), אפשר גם בכלים יותר מתקדמים של תורה ארגודית להראות שהיא ארגודית (זה ברור, אם תרצה זאת ההגדרה של מידת האר/מידת לבג על המעגל), ושהנקודות שתקבל הן בעלות התפלגות אחידה (זה כמובן נותן לך צפיפות, במרחב האוסדורף קומפקטי)). בגלל שקיבלת סדרה צפופה, היא בהכרח לא מחזורית (אחרת?!?) וסיימת. שואלת השאלה המקורית בטח מתעניינת במערכות דיפרנציאליות, אז במקרה הזה, הסיפור פשוט, מערכות לינאריות אינן יכולות להיות כאוטיות, לא יעזור בית-דין (במימד סופי, אני לא רוצה לתת כאן הצהרות על אופרטורים דיפרנציאליים). לגבי מערכות כלליות. במישור, (במטריקה האוקלידית), אין מערכות דיפרנציאליות כאוטיות (תוצאה ישירה של משפט פואנקרה-בנדיקסון). ולכן, צריך לעלות למימד 3 לפחות (כמו כל תמונות הפרפרים האלה) או לחילופין לעבוד ביריעות שאינן שטוחות (נראה לי אפילו תצטרך גיאומטריה היפרבולית שם, וזה לא נראה לי יעבוד בגיאומטריה ספרית).Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.