אני בשוק

[בטריה קוצנית]

אני בשוק ../images/Emo2.gif

9.999...(רצף אין סופי של 9) 0.999... = x /*10 9.999... = 10x /-x 9 = 9x /:9 x = 1 ??? זה רק אני, או שהתרגיל שנכתב בלוגיקה מושלמת, בלי לחלק באפס או משהוף ובכל זה לאותו איקס יש שני תוצאות שונות? הכיצד?

 

[license2kill 007]

אבל תציב X=1 במשוואה הראשונה

ותראה שזו טעות.

 

[license2kill 007]

אה נראה לי שלא הבנתי מה שכתבת

שניה אני אסתכל שוב

 

[license2kill 007]

נראה לי שהטעות היא

שלא חילקת במינוס איקס בשני האגפים במשוואה השנייה.

 

[license2kill 007]

אוף שוב התבלבלתי במה שכתבת

ומצטערת על השרשור המוצף. אבל תבין שעם מורידים איקס מאגף אחד יש להוריד מהאגף השני.... ואיך בדיוק הפכת את 9.99999 ל-9?

 

[license2kill 007]

לסיכום

נראה לי שסתם עשיתי מה בא לך במשוואה, לפי מה שאני הבנתי. אתה החוליה החלשה, שלום!

 

[license2kill 007]

עשיתי=עשית בא=שבא

 

[license2kill 007]

אויש איזה מטומטמת שכחתי למה X שווה

 

[arcsinus]

תשובה.

את בעצם סימנת באיקס את הביטוי:

x = 0.99999999......​

המספר הזה הוא לא מספר מוגדר. לפי מה שאת אומרת, יש כאן אינסוף תשיעיות אחרי הנקודה, אינסוף זה לא מספר סופי, כלומר זה לא מספר מוגדר. לכן את לא יכולה להגיד שלביטוי

10x = 9.999999999999.......​

יש אותו מספר תשיעיות אחרי הנקודה, ולכן המשוואה שקיבלת 10x - x = 9 היא לא נכונה. חוץ מיזה שאת לא יכולה לסמן באיקס מספר שהוא לא מוגדר. 5 5 5 5 5

 

[Halfbaked]

זה נכון!

0.999999...=1​

אלו הן פשוט שתי הצגות לאותו מספר. מספרים עם פיתוח עשרוני אינסופי אכן מוגדרים - ערכם הינו סכומו של טור מתכנס הנקבע על פי ערך הספרות ומיקומן באופן הברור. במקרה זה, הטור הינו טור הנדסי, בו האיבר הראשון הינו 0.9 ומנת הטור היא 0.1. ואם תשתמשו בנוסחה לסכום טור הנדסי אינסופי תגלו שאכן

0.99999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ... = 1​

דרך אחרת להראות זאת היא לקחת שליש, המיוצג כ-...0.33333333, ולהכפילו ב-3. מפתיע, אבל הגיוני. יובל.

 

[yontanbn]

הסבר

ובכן, איזה יופי שנוצר עץ כזה ענק כשאדם אחד לא בטוח מה הוא רוצה להגיד ובכן, הלוגיקה אכן מושלמת, זה לא אחד מאותם תרגילים שמוכיחים ש1=2 וצריך למצוא את הטעות בהוכחה... המצב הוא פשוט. אלא אינן שתי תוצאות שונות כן, כן, אינסוף תשיעיות אחרי הנקודה הוא אותו מספר כמו 1. אלא שתי *הצגות* שונות לאותו מספר על ציר המספרים. אפשר להיווכח בכך בהרבה צורות, אחד מהן היא הצורה שבה הראית את זה עכשיו. צורה אחרת, היא ההגיון הבא: בין כל שני מספרים שונים על ציר המספרים, יש עוד מספר. זו אקסיומה של הממשיים (או לא אקסיומה, יטענו כמה ), שנקראת "תכונת הצפיפות". לכן, אם בין שני מספרים אי אפשר למצוא מספר, שקטן מהאחד וגדול מהשני, אז שני המספרים האלה זהים. אז בואו וננסה למצוא מספר בין 0.999... ל1 אז נשאל את עצמנו, מה הספרה לפני הנקודה יכולה להיות? רק 0, כי אם הספרה תהיה 2 ומעלה, המספר יהיה גדול מ1, ואם הספרה תהיה 1, אז המספר יהיה או גדול מ1 או שווה לו. מה הספרה הראשונה אחרי הנקודה יכולה להיות? רק 9, כי אם היא כל ספרה מ0 עד 8, המספר יהיה קטן מ0.999. מה הספרה השניה יכולה להיות? שוב, רק 9, לפי אותו הגיון. אנחנו מקבלים שהמספר שנמצא ביניהם יכול להיות רק 0.999 אינסוף פעמים, אבל מספר זה הוא לא ביניהם, והגענו לסתירה... שימו לב שלכל מספר בעל הצגה סופית יש שתי הצגות שונות... למשל, למספר רבע שהוא 0.25 יש עוד הצגה שהיא 0.2499999999 כך שהתשיעיות נמשכות אינסוף פעמים. למספרים שאין להם הצגה סופית, יש הצגה יחידה. נסו להוכיח זאת

 

[פייד-ראותא]

מה שאמרת זה די כמו לבקש

מאיתנו למצוא מספר בין אינסוף לאינסוף... בעצם זה לא דומה ...זה בדיוק! הרי יש בעיה בחשיבה הגיונית לגבי ה"אינסוף" . לכן זו לא ממש דוגמא "עוזרת" ,הדוגמא עם הלראות שאי אפשר להוסיף מספר בין שתיים נקודה תישע מחזורי לשלוש... פייד!

 

[yontanbn]

הסבר נוסף

אני לא מסכים איתך, פייד ראותא יקירי לא מדובר על להוסיף מספר... מדובר על האמת העקרונית שבין כל שני מספרים *ממשיים* קיים מספר ממשי נוסף... בצורה פורמלית, אם יש לנו שני מספרים ממשים a וb, אזי קיים מספר ממשי c כך שאו שמתקיים a<b<c או c<b<a זו עובדה שאני מקבל כנתון, כי כמו שאמרתי היא או אקסיומטית או שניתן לקבל אותה בקלות מהאקסיומות בדרך בניית המספרים הממשיים... עכשיו, למה זה *לא* כמו למצוא מספר בין אינסוף לאינסוף? כי אינסוף הוא לא מספר ממשי! כן יכולתי לבקש ממך למצוא מספר בין מינוס אינסוף לאינסוף (יש הרבה כאלה) אבל אני לא אעשה את זה, כי זו בקשה לא חוקית אבל לבקש ממך למצוא מספר בין שני מספרים ממשיים זו משימה חוקית ביותר, ואם אין מספר ביניהם, אז לפי האקסיומות, המספרים האלה הם אותו מספר. אם אתה טוען שמה שביקשתי מכם למצוא זה בקשה לא חוקית, אז אתה בעצם טוען ש0.99999 הוא לא מספר ממשי, כי אם היה, אז הבקשה שלי היתה חוקית לגמרי תחשוב על זה...

 

[פייד-ראותא]

אבל כשאתה מדבר על מספר

שכזה שמספר הספרות אחרי הנקודה אצלו הוא "אינסופי".... אתה שוב נכנס לכל ההתעסקות עם האינסוף. המספר עצמו ממשי,אבל אני חושב שתמיד יהיה מספר בין שתיים נקודה תישע מחזורי לשלוש.מספר הספרות שלאחר הנקודה אצלו ישאף "חזק" יותר לאינסוף מקודמו... לי נראה כאילו זה הכל עניין של הגדרות.(שאני לא הכי מתמצא בהן...). מקווה שהבנת את כוונתי, פייד!

 

[Halfbaked]

קצת סדר במושג האינסוף

אינסוף אינו מספר ממשי, אך מכך לא נובע שהוא אינו מושג קיים ומוגדר. למשל, ישנם אינסוף מספרים טבעיים. כלומר - כמות המספרים הטבעיים היא אינסוף (לא "שואפת" לאינסוף), מכיוון שהיא גדולה מכל כמות סופית. גם מספר הספרות בפיתוח עשרוני של שורש שתיים הוא אינסוף. כפי שציינתי, ערכו של מספר הניתן ע"י הצגה עשרונית מוגדר כסכום הטור האינסופי שהצגה זו קובעת. הערך נקבע אך ורק ע"י ערך הספרות ומיקומן - אין כאן גורם של "מהירות השאיפה לאינסוף", משום שאין כאן שאיפה לאינסוף. הטיעון שהעלה יונתן, המראה כי אין הצגה עשרונית הנמצאת בין ...2.999 ובין 3, ומסיק מכך כי אין מספר ממשי בין שני מספרים אלו (ולכן הם זהים), הוא תקף לחלוטין. קיים ויכוח (פילוסופי במהותו) בשאלה האם האינסוף הוא אכן מושג "קיים" ובר משמעות, או רק סימן מתמטי ללא שום תוכן, אך דיון זה אינו נוגע לניתוח המתמטי עצמו. אני מקווה שהבהרתי את התמונה. יובל.

 

[yontanbn]

תודה ותוספת

תודה לHalfBaked על ההסבר, ואני רוצה להוסיף עליו. אני רוצה להסביר את ההגדרה המדוייקת של פיתוח עשרוני וערכו. כפי שאמרנו למספר ממשי יכול להיות יותר מפיתוח עשרוני אחד, אבל לפיתוח עשרוני יש ערך ממשי אחד ויחיד. עכשיו מהו בכלל פיתוח עשרוני? אז ככה, יש כמה הגדרות, אני אבחר באחת הפשוטות יותר. פיתוח עשרוני מורכב מחלק שלפני הנקודה וחלק שאחרי הנקודה, כך שהחלק שלפני הנקודה זו סדרה סופית של ספרות מהקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (אני הולך מהנקודה שמאלה) והחלק שאחרי הנקודה זו סדרה אינסופית של ספרות מאותה קבוצה (כאן מהנקודה ימינה) מה זה אומר שזו סדרה אינסופית? המושג של סדרה אינסופית נדון בהרחבה בחשבון אינפי, אבל להגדיר אותו זה משהו שכמעט אף פעם לא עושים. אפשר כמובן להגדיר סדרה אינסופית כסדרה שמספר האיברים בה גדול מכל מספר טבעי. אפשר גם להגדיר סדרה אינסופית כסדרה שמספר האיברים בה הוא אלף_אפס, כלומר שאפשר לעשות התאמה בין איברי הסדרה (כאן צריך להיזהר, כי בסדרה מותרים כפילויות, וצריך לטפל בזה, אבל לא שייך לדיון התיאורטי) לקבוצת המספרים הטבעיים. בכל מקרה, זה מושג מוגדר היטב. עכשיו בהינתן שתי הסדרות הללו, מה ערך המספר הממשי שמתקבל מהן? פשוט מאוד, זה סכום על כל האיברים בסדרה הראשונה (הסופית) של האיבר כפול 10 בחזקת האינדקס שלו, כאשר האינדקס הראשון הוא 0 והאינדקסים עולים. ולסכום הזה אני מוסיף את הסכום על כל האיברים בסדרה השניה (האינסופית) של האיבר כפול 10 בחזקת האינדקס שלו כאשר האינדקס הראשון הוא מינוס 1, והאינדקסים יורדים. עכשיו אפשר לטעון למה הסכום הזה בכלל קיים? הרי לא כל סכום אינסופי קיים... ידוע שסכום של מספרים חיוביים קיים אם הוא קטן מסכום אחר של מספרים חיוביים. כאן מדובר רק על מספרים חיוביים (המקרה של מספר ממשי שלילי, קל להגדרה באותה מידה), לכן צריך להראות שהסכום הזה קטן מסכום אחר. אז הסכום שניקח יהיה סכום של 10 בחזקת i, כאשר i הולך מ0 ויורד עד מינוס אינסוף. למה סכום זה קיים? כי זה סכום של סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת (הכל משפטים מאינפי...) וסכומה המדויק הוא 10 תשיעיות, כלומר סכום סופי בהחלט. אבל למה הסכום הזה גדול מהסכום שרצינו לחשב בהתחלה? פשוט מאוד, כי איבר איבר, הוא יותר גדול ממנו. האיבר הראשון בסכום *שלנו*, הוא ספרה כפול 10 בחזקת מינוס אחד. גם הספרה הכי גדולה, 9, כשכופלים אותה ב10 בחזקת מינוס אחד, עדיין נשארים במשהו קטן מ10 בחזקת 0. באיבר הבא, אותו דבר. ספרה כפול 10 בחזקת מינוס שתיים קטן מ10 בחזקת מינוס אחד וכן הלאה. וזה בערך כל מה שרציתי לומר. מקווה שנהנתם

 

[בטריה קוצנית]

תודה לכל מי שענה לי, בקשר לתשובה

מישהו אמר שאין הבדל בין המספר 0.999... לבין המספר 1, ז"א שהם זהים אם כך גם אין הבדל בין 0.999... לבין 0.999...8, ואין הבדל בין 0.999...8 לבין 0.999...7 . ואם כך, לפי כלל המעבר, כל המספרים האלה זהים? או שבעצם הוכחתי שכל אין-סוף שווה לאין סוף?

 

[Halfbaked]

רגע אחד

מה זה בדיוק 8...0.999? באיזה מקום אחרי הנקודה נמצאת הספרה 8? העשירי? המאה? המיליון? וכדי להקדים תרופה, אדגיש ש"המקום האינסוף" אינו מקום. לכל ספרה בפיתוח עשרוני של מספר ממשי יש מקום סופי. אומנם ישנן אינסוף ספרות, אך כל אחת מהספרות באה אחרי מספר סופי של ספרות. במילים אחרות אין אף ספרה הבאה אחרי אינסוף ספרות אחרות, ולכן 8...0.999 אינו פיתוח עשרוני כשר, ואינו מגדיר אף מספר ממשי. יובל.

 

[פולדרה]

לא כל כך...

אבל בין 0.999... למספר 1 אין הבדל, ובין המספר 0.99999...8 ל0.999...9יש אינסוף מספרים. מכאן לא כל המספרים שווים אחד לשני.