אלגברה מאתגרת

[אריקKS]

אלגברה מאתגרת

קיבלנו אתגר מהמורה לאלגברה (במכינה הקדם אקדמאית בטכניון) ניסיתי המון זמן, ולא הצלחתי לפשט את זה בצורה נכונה : הוכח שמכפלת 4 מספרים עוקבים + 1 שווה תמיד לשורש ריבועי של מספר שלם ------------------------------------------------------------------

n x (n+1) x (n+2) x (n+3) + 1 = משהו בריבוע​

או אפשר כך (זה אמור להיות רמז, בכל אופן - אלו גם 4 עוקבים):

(n-1) x n x (n+1) x (n+2) + 1 = משהו בריבוע​

הוא אמר לנו שזו שאלה שפתרו ילדים מכיתה ט´, באולימפיאדת המתמטיקה ואף אחד לא הצליח לפתור את זה היום בכיתה... למישהו יש מושג , או לפחות רעיון איך מוכיחים שביטוי הוא ריבוע של מספר שלם ? (אני מאמין שצריך להגיע למשהו בסוגריים, שכולו בריבוע, ואין איברים מחוץ לסוגריים, אבל לא הצלחתי לעשות זאת) תקנו אותי אם אני טועה... ? תודה מראש

 

[אריקKS]

מצטער על אי-השרשור שלי, אני חדש כאן

רק עכשיו שמתי לב שאתם משתמשים בשרשור לכל יום בערך פעם הבאה אשרשר אם אפשר להעביר את האשכול שלי לשרשור הנוכחי, לא אתנגד לכך (למנהל הפורום)

 

[yatir]

דרך אגב, מאיפה החתימה שלך. המשפט

הזה מאוד מאוד מוכר לי...

 

[אריקKS]

הנדסה קרבית

משפט שבעקרון אני לא בטוח בקשר למקור שלו, אבל הוא בפולקלור של הנדסה קרבית.. (משפטי שרותים בצבא..) תודה על התשובה, אני יעבור עליה ואנסה להבין תיכף.

 

[yatir]

הפתרון:

(n-1)n(n+1)(n+2)=a^2-1 (n^2+n)(n^+n-2)=(a+1)(a-1)​

שים לב, שבכל צד יש לך מכפלה של 2 מספרים שההפרש ביניהם הוא 2. ע"י הצבת n, אתה יכול למצוא את a, ולכן הוא קיים לכל n. בעצם a^2 הוא המספר הריבועי שאתה מחפש!

 

[אריקKS]

תראה -

(n-1)n(n+1)(n+2)=a^2-1 (n^2+n)(n^+n-2)=(a+1)(a-1)​

הבנתי איך פישטת את הביטויים, מה שלא הבנתי זה למה זה חשוב לי שההפרש בין שני איברים בכל צד הוא 2 (זהה). הרי את ההצבה אני יכול לבצע כבר בשלב הראשון של התרגיל - צריך למצוא הוכחה שלא מסתמכת על הנחה. אני כנראה לא מבין אותך עד הסוף, אתה יכול להסביר לי למה ההפרש חשוב להוכחה ?

 

[אריקKS]

מה שגם - תנסה להציב 5

ניסיתי להציב 5 ו 3 , זה יוצא מספר שאין לו שורש שלם בנוסף, חשבתי על זה, ועל סמך מה אנחנו מציבים בעצם ? על סמך הנחה, אין קשר אחר הקושר את הביטויים... (חוץ מהקשר של הפרש 2, שלא הסברת) אני לא מסוגל לישון בגלל הדבר הזה, מזל שאני מתחיל ללמוד מחר רק ב10..

 

[אריקKS]

דוגמא :

נציב 3 :

(9+3-2)(9+3) = 120​

120 הוא לא ריבוע של מספר שלם..... והטענה שצריך להוכיח נכונה, והוכיחו אותה

 

[טלמון סילבר]

הסבר

נתחיל מהדוגמאות שלך. שכחתָ ש-3*5 ו-10*12 שווים לא לריבוע שלם, אלא לריבוע שלם פחות 1. ואכן 16 ו-121 הם ריבועים שלמים. נעבור להוכחה. נכון, אפשר היה פשוט להַראות ש:

(n-1)n(n+1)(n+2) + 1 = (n^2 + n - 1)^2​

או להגיע לזה בדרך יבשה. אבל יתיר הראה לך דרך יפה איך אפשר להגיע לזה לוגית, לא סתם בניחוש. אחזור עליה יותר לאט: צריך להוכיח ש:

(n-1)n(n+1)(n+2) + 1 = a^2​

אם אכן קיים כזה a שלם עבור כל n שלם, אז:

(n-1)n(n+1)(n+2) = a^2 - 1 [n(n+1)]*[(n-1)(n+2)] = a^2 - 1 (n^2 + n)(n^2 + n - 2) = (a+1)(a-1)​

והודות להפרש 2 קל למצוא כזה a:

n^2 + n = a+1 n^2 + n - 2 = a-1 a = n^2 + n - 1​

 

[yatir]

תודה טלמון, לא הייתי יכול להסביר את

זה יותר טוב!

 

[yatir]

תודה טלמון, לא הייתי יכול להסביר את

זה יותר טוב!

 

[אריקKS]

ההוכחה הגאונית של המורה שלי :

קודם כל תודה כולם על העזרה הנה ההוכחה של המורה הדגול שלי (שוקי ארושס)

(n-1)n(n+1)(n+2)+1 (n^2+n-2)(n^2+n)+1 ~~~~~ ~~~~~ נוציא מהסוגריים (n^2+n)^2 -2(n^2+n)+1 ומי שלא שם לב, זו נוסחת כפל מקוצר בעצם כמו (a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2 רק שאיבר אחד הוא (n^2+n) והאיבר השני הוא 1 ולכן נכניס את הביטוי לנוסחה - לסוגריים ((n^2+n)-1)^2 הוכחנו, כל הביטוי נמצא בסוגריים - בריבוע ולכן הוא בעצם ריבוע של מספר שלם​

הוכחה גאונית ממש ב 2 שלבים פשוטים

 

[טלמון סילבר]

נחמד.

 

[אריקKS]

הבנתי - תודה

אגב, זה בדיוק מה שהמורה שלי עשה, זאת אומרת - הגיע ב"דרך יבשה" לביטוי בסוגריים בריבוע, זה ממש פשוט עכשיו שאני רואה את זה. מי שמעוניין לדעת איך, הדבקתי הודעה עם הדרך.