אלגברה ב'

[littlerunaway]

אלגברה ב'

אני אשמח לקצת עזרה עם שלושת התרגילים הבאים. זה גיליון חזרה על אלגברה א', שעשיתי לפני כ-4 שנים, אז למרות שחזרתי על החומר מאז אני עדיין מאוד חלודה ולא זוכרת כל מיני דקויות ומשפטים למינהם. אז אם אתם זורקים רמז, אני אשמח אם הוא יהיה קצת עבה.

 

[אורי769]

נתחיל בראשון

תעזרי בעובדה שלכל פולינום מעל C יש שורש (זהו המשפט היסודי של האלגברה). תשתמשי בו עבור הפולינום האופייני של A.

 

[littlerunaway]

די הבנתי לגבי הראשון.

אני תקועה עכשיו על השני (מס' 3)

 

[אורי769]

הדרכה

הרעיון הוא להשתמש בשאלה הקודמת כצעד האינדוקציה.
נניח A מסדר nXn. לפי השאלה הקודמת A דומה ל-D כאשר העומדה השמאלית של D היא אפסים פרט לאיבר הראשון.
נסתכל על המינור הראשי המתקבל מ-D ע"י מחיקת השורה והעמודה הראשונה. נקרא לה 'D. זו מטריצה מסדר n-1 X n-1. לפי הנחת האינדוקציה 'D דומה ל-'L שהיא משולשית עליונה. כלומר יש מטריצה 'Q הפיכה המקיימת 'Q'^-1 D' Q' = L.
עכשיו מה שצריך להבין זה איך להרחיב את 'Q למטריצה Q מסדר nXn כך שנראה ש-D דומה למטריצה משולשית עליונה.

 

[littlerunaway]

בעיקרון מצאתי לזה פיתרון

הם לקחו את מטריצה P שקיימת מהדימיון של השאלה הקודמת, וכפלו אותה ב מטריצה שמכילה 1 בפינה שמאלית עליונה, אפסים בשאר העמודה והשורה הראשונה, ואת השאר משלימה המטריצה Q. וזאת בעצם המטריצה ההופכית C שנותנת לי את D. אני רק לא לגמרי בטוחה איך להסביר שם שהמכפלה בסוף יוצאת מטריצה משולשת עליונה.

 

[littlerunaway]

יש מצב לעזרה עם התרגיל האחרון?

 

[אורי769]

בא נראה

צריך להתחיל בלשים לב ש-(Mn(R זה מרחב וקטורי ממימד n². המטריצות כאן הן בתפקיד של וקטורים ולא בתפקיד של העתקות ממרחב n מימדי לעצמו. זה נקודה רגישה שאסורה להתבלבל בה.

האמת שאני לא יודע האם מה שאכתוב זה כוונת המשורר שכתב את התרגיל, אבל הנה איך שאני ניגשתי לשאלה:

x הוא ע"ע של T אם יש מטריצה המקיימת A^t = xA. אנחנו מכירים מטריצות סימטריות, כלומר אלה המקיימות A^t = A וגם אנטי סימטריות A^t = -A. כלומר 1 ו-1- הם ע"ע של T. האם יש אחרים? ישנה טענה לפיה כל מטריצה היא סכום של סימטרית ואנטי-סימטרית (טענה שאם את לא מכירה נסי את כוחך והוכחי אותה. לא קשה). או במלים אחרות, המטריצות הסימטריות והאנטי סימטריות פורשות את מרחב המטריצות הריבועיות ולכן ברור שאלה הע"ע היחידים.
בעצם כמעט פתרנו את כל השאלה. כי צריך למצוא בסיס למרחב המטריצות הסימטריות וזה לא קשה וכנ"ל למרחב המטריצות האנטי סימטריות. איחוד הבסיסים הזה ילכסן את T.
נשאר רק לחשב את מימד המרחבים האלה. נסמן ב-s את מימד מרחב המטריצות הסימטריות וב-a את מימד מרחב המטריצות האנטי סימטריות. אז הפולינום האופייני הוא
p(x) = (x-1)^s(x+1)^a
ואני משאיר לך למצוא את s ואת a.