אלגבראות בנך

[liat002]

אלגבראות בנך

 

[1ca1]

תשובה

לא יודע מה סימנת ב-Phi גדול, זה בטח לא משהו סטנדרטי, ולא כדאי להשתמש בו כשיש לך במקביל גם את phi כהומומורפיזם (וזה דווקא כן סימון סטנדרטי, פיי קטן כסימון להומומורפיזם).
סימון סטנדרטי יהיה Hom(A,C).
ד"א, אלה לא קרקטרים אלא קוואזי-קרקטרים (לא מערך מוחלט 1), ועדיף למען האמת לא להשתמש במילה קרקטר כאן (למרות שזה לא לא נכון) כי פשוט זה מזכיר חבורות, כאשר אנחנו מדברים על Hom(A,C), אנחנו מדברים על הומומורפיזם של אלגבראות, כלומר שומר על חיבור וכפל (וכוכב ועוד).
&nbsp
בכל אופן, אנחנו צריכים להראות שאם s ב-s(x+y) אז s ב-s(x)+s.
בואי נתחיל לחשוב על זה באלגברה לינארית 2.
אם x,y מתחלפים, ונניח שהם סבירים, אז יהיה להם לכסון סימולטני, ואז בבסיס הזה, נקבל שגם x+y אלכסונית סימולטנית, והע"ע על האלכסון הם באמת סכום הע"ע של x ושל y בהתאמה.
&nbsp
עכשיו, כמו שכתבת, מקבלים
zz s(x+y)={p(x+y)}={p(x)+p} zz
כי p הוא *-הומומורפיזם.
זה כמובן מוכל בסכום מינקובסקי zz {p(x)+p} <= {p(x)}+{p}=s(x)+s zz
זאת אותה הוכחה כמו הראשון בדיוק!!

 

[liat002]

תודה על התשובה המפורטת
לא הייתי בטוחה לגבי סגירות לחיבור כי במחברת המרצה כתב רק את פעולת הכפל

 

[1ca1]

לכן צריך להדגיש שמדובר בהומומורפיזם של אלגבראות

ולמעשה מה שנקרא *-הומומורפיזם.
זה לא רק למבנה הכפלי של החבורה. לכן גם לי אישית (וזה פחות סטנדרטי) להגיד את המילה קרקטר בהקשר הזה.
&nbsp
אפשר לדבר למשל כמו בטרנספורם גלפנד על הומומורפיזם הוולואציה val_x שמדבר על להציב את x בכל מיני איברים.

 

[liat002]

הבנתי אותך..תודה רבה!