ננסה באופן כללי:
משפט: אם שורש של מספר טבעי אינו מספר שלם, אז הוא אי-רציונלי. נפרק את המספר N לאטומים שלו. נשים לחוד את כל הזוגות האפשריים של שני אטומים שווים: N שווה A כפול B, כאשר A - מכפלת כל הזוגות, B - מכפלת כל האטומים שנשארו ללא בני-זוג. עכשיו: אם מכל אחד מהזוגות המרכיבים את A ניקח נציג אחד בלבד, ומכפלתם שווה C, אז C בריבוע זה בדיוק A. או: שורש של A שווה למספר השלם C. ובכן: שורש של N יהיה רציונלי כאשר, ורק כאשר, שורש של B רציונלי (כי אפשר להעביר אגף את C). כלומר אפשר להתעלם מכל זוגות האטומים הזהים של N. אם B שווה 1, אז שורש של N זה פשוט המספר השלם C. זה המצב, כש-N מורכב רק מזוגות של אטומים זהים. אם B שונה מאחד, אז יש בו לפחות אטום בודד אחד. כלומר קיים לפחות מספר ראשוני אחד P, כזה ש-B מתחלק ל-P, אבל לא מתחלק ל-P בריבוע (אחרת שני אטומי ה-P היו עוברים ל-A). ההוכחה ששורש של B אי-רציונלי: נניח ששורש של B רציונלי, כלומר שווה X חלקי Y טבעיים ובלתי מצטמצמים (אחרת נצמצם אותם כמה שאפשר). מעבירים אגף את המכנה, ומעלים בריבוע: X בריבוע שווה B כפול Y בריבוע. מכאן: X בריבוע מתחלק ל-B, וגם למספר הראשוני P, מה שיכול להיות רק כאשר X עצמו מתחלק ל-P, אז X שווה P כפול מספר שלם Z. Z בריבוע כפול P בריבוע שווה B כפול Y בריבוע. נצמצם את שני האברים ב-P. אנו רשאים לעשות את זה, כי B מתחלק ל-P. אבל אחרי שחילקנו את B ל-P, המָנָה, כאמוּר, כבר לא מתחלקת ל-P (כי B אינו מכיל זוגות של אטומים זהים). ומכיוון שהמָנָה הזאת כפול Y בריבוע שווה Z בריבוע כפול P, כלומר מתחלקת ל-P, אז רק Y בריבוע יכול להתחלק ל-P, כלומר גם Y מתחלק ל-P, מה שלא יכול להיות, כי X ו-Y אינם ניתנים לצמצום.
