אינסופיות....

[picaso]

אינסופיות....

מהו סוף האין סוף? האם יכול להיות סוף לאין סוף?

 

[s u p e r mind]

לא.

האם יכולים להיות אינסוף גפרורים, בקופסה המונה 125 גפרורים? מהו האינסוף של 125 גפרורים בקופסת הגפרורים?

 

[רנה דקארט]

כן

במרחב של מטר יש אינסוף חלקי מרחב. למרות זאת סופם של אינסוף החלקים מגיע לאחר מטר אחד בלבד. השל עובדה זו קיימים המושגים המתמטיים "אינסוף סופי" ו"אינסוף לא סופי". מעניין לציין שיש גם אינסופים גדולים יותר אחד מהשני- למשל אינסוף מספרים, אינסוף מספרים זוגיים, אינסוף מספרים ראשוניים, אינסוף מספרים עשרוניים. כולם אינסופיים, למרות שהראשון גדול מהאחרון פי עשר.

 

[sheketz]

דווקה אפשר לומר

שאינסוף המספרים המתחלקים בעשר יש באותה הכמות כמו אינסוף מספרים. הנה נסתכל על הסדרה 10, 20, 30, 40, 50, 60 .... ןעל הסידרה 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 .... שתיהן סדרות אינסופיות, והנה אני מתאים לכל איבר של סדרה אחת איבר של הסידרה השניה וההיפך - זה נקרא התאמה חד חד ערכית ועל. הרי זאת הדרך שלנו להשוות דברים ולכן יוצא ששתי הקבוצות (סדרות) שוות בגודלן.

 

[Trinity 8 P]

אינסוף לא נמדד בהתאם למספר האיברים

שהוא מכיל אלא במונחים של גודל המספר "האחרון בסדרה". כלומר מה גודל האיבר כש n שואף לאינסוף.

 

[sheketz]

מהו מספר? מהו גודל של מספר?

יש שני "סוגים" של מספרים - מספרים מונים ומספרים סודרים. המספרים המונים מונים איברי קבוצה - אחת, שתיים, שלוש, .... המספרים הסודרים סןפרים את המקום בקבוצה - ראשון, שני , שלישי, .... יש כאלו שיגידו שמספרים מונים מתארים את חצי המוח הימני ומספרים סודרים את חתי המוח השמאלי. לשון אחר, מספרים מונים מתארים משהו "מרחבי" התופש סימולטאנית בבת אחת כמה מקומות, ואילו המספרים הסודרים מתארים משהו "זמני" שבא זה אחר זה בסדרה. מהו גודל של מספר? התיאור היותר מוצלח שהסביר גודל הוא להתייחס אליו כרלציה/יחס. מספר א' גדול יותר ממספר ב' או מספר ג' קטן או שווה למספר ד'. גם לרלציה הזאת אפשר להגיע במונחים של מספרים מונים או מספרים סודרים, כאשר במספרים מונים מבצעים התאמה "אחד-לאחד" בין שתי קבוצות, ובמספרים סודרים בודקים מי הגיע ראשון (הקטן) ומי מגיע אחריו (הגדול). ומה שמעניין הוא שאפשר לסדר מספרים מונים לפי הגודל ולספור אותם: אחת הוא הראשון, שתיים הוא השני, שלוש הוא השלישי, וכך הלאה, ומאידך אפשר למנות מספרים סודרים. "ראשון" - זה מספר אחד, "ראשון שני" - זה שני מספרים, "ראשון שני שלישי" - זה שלשה מספרים וכך הלאה. אז עבור מספרים טבעיים אפשר לראות שהמונחים הללו מספרים מונים ומספרים סודרים הם משלימים אחד את השני מבחינת כיצד אנחנו תופשים מספרים. אבל כאשר אנחנו מגיעים לאינסוף החגיגה הזאת נשברת. כי כאשר אנחנו שואלים את עצמנו כמה זה אינסוף (אברים) ועוד (איבר) אחד אז זה כמובן ישאר אינסוף (ומפה הזיהוי המוטעה של אינסוף עם המקסימלי). אבל כאשר אנחנו שואלים את עצמינו מה המקום שבא אחרי המקום מספר אינסוף אז זהו המקום האינסוף ואחד. ולפי הגדרה הוא גדול מהמקום אינסוף, כי הוא בא אחריו. טוב, אני מקווה שבילבלתי את מי שהגיע עד כה, כי אם לא אז ממש ממש לא עשיתי את העבודה שלי (בהתנדבות).

 

[karpada1]

ההפך למען האמת

איןגדלים לאינסוף(מעצם הגדרת האינסוף),יש "עוצמות". מתמטית ולוגית ,העוצמה של אינסוף המספרים הממשיים בין 0 ו1(עוצמת 'א1' על פי קנטור)גדולה מעוצמתה של כל קבוצה שהיא ברת מנייה-למשל קבוצת הרציונליים בין 8 ל50 מיליון(עוצמת 'א0'),וזה למרות המספר האחרון בסדרה הראשונה (1)קטן הרבה יותר מ 50 מיליון. הדבר שאת מציגה אינו הגדרה של אינסוף ,כי אם של לימס(גבול מלעיל של פונקצייה או סדרה).

 

[sheketz]

מה שהצגתי קודם

זוהי הגדרה של תכונת האינסופיות (מצטער אם לא הבהרתי). גם האינסופי של הרצף א(1) וגם האינסופי של מספרים הטבעיים א(0) עונים להגדרה זו. נא לבדוק. אפשר להשוות דברים אינסופיים זה לזה זאת היא המשמעות של גודל עבורי כפי שהסברתי קודם. כמובן שזו אינה טענה טריויאלית.... ומעבר לזה יש עוד טענה לא טריויאלית שה"מספר המונה" האינסופי (העוצמה האינסופית) הקטן ביותר הוא של קבוצת המספרים הטבעיים ובמקביל ה"מספר הסודר" האינסופי (אורדינל אינסופי) הקטן ביותר הוא זה שמייצגים המספרים הטבעיים (אם תרצה תאמר הגבול שלהם). ההגדרה של האינסופיות עובדת גם עבור מספרים מונים וגם עבור מספרים סודרים בגלל שגם כאן וגם כאן יש לנו יחס של סדר (מי גדול ממי) וכן בגלל השיתוף בין מונים וסודרים ככל שזה נוגע למספרים הטבעיים. ביחס למספרים בין אפס לאחד אתה צודק כמובן , יש אינסוף "א(1)" כאלו מהם (פעם אחרונה שספרתי) אבל זה כבר סיפור אחר. לגבי מספרים ממשיים אינסופיים , אשמח לשמוע את דעתך.

 

[karpada1]

תחילה אומר

שהגבתי לטריניטי שהציגה בלבול בין מונחי אינסוף ולימס. אני מסכים שניתן להשוות עוצמות(אינטנסיביות גם נשמע סביר,צפיפות) אינסופיות בצורת הצמדים שהצגת,אך השימוש הסמנטי במונח 'גודל' בהקשר של מהות שמתוך הגדרתה היא חסרת קצוות,חורה לי.(אבל זה לא ממש מעניין) "העוצמה האינסופית הקטנה ביותר היא של קבוצת הטבעיים"-זוהי האמת,אך לא כל האמת.עוצמה זו תפסה גם לגבי השלמים,הרציונאליים,האי זוגיים.... למען האמת יש אין סוף קבוצות כאלו

וגם קבוצת הקבוצות הללו היא בעצמה-בעלת עוצמה זו-א0 כאמור.(מקווה שאינני מבטא את המובן מאליו עבורך,לא הייתי בטוח לגבי כוונתך בפסקה זו) התוכל להסביר נא את עניין "המספר הסודר"? אם אכן מדובר בגבול(כפי שציינת בסוגריים),אז אינני מבין מדוע לימס מילרע(גבול תחתון) של הטבעיים(שהוא אפס)קטן יותר מ"לימס מלרע" של,נאמר-קבוצת השלמים(מינוס אינסוף). "לגבי מספרים ממשיים אינסופיים , אשמח לשמוע את דעתך."לא בהיר לי באיזה הקשר,התבאר?

 

[sheketz]

אני מנסה להסביר את העניין בלשון

שהיא שווה לכל נפש. אני רואה שזה די קשה לעשות זאת. כבר אמרתי שהמספרים המונים הם עוצמות, כלומר "אחת שתיים שלוש" והמספרים הסודרים הם "ראשון שני שלישי". אבל מה רבותא כאן? את המספרים המונים אנחנו מקבלים כהפשטה כאשר אנחנו משווים בין קבוצות, ואת המספרים הסודרים אנחנו מקבלים כאשר אנחנו משווים בין קבוצות סדורות (כלומר יש יחס של סדר בין איבריהן), אבל לא סתם יחס של סדר, אלא מה שקוראים "סדר טוב" - אבל לא ארחיב. לגבי המןשג של גבול , כבר היראו קושי וחבריו שאפשר להתייחס לסדרה עצמה כאל הגבול שלה בתנאים מסוימים. אבל נו שוין, אני חושש שזה כבר מפסיק לעניין.

 

[בוהה ניכחו]

יש לי שאלה, שכצ, לגבי מה שכתבת פה:

יש לי תחושה שזו שאלה טפשית, אבל אני גם רוצה להבין למה היא טפשית: קבוצת כל המספרים המתחלקים בעשר B היא קבוצה חלקית של כל המספרים הטבעיים A. ויש איברים בקבוצה A שאינם ב B. אם כך, כיצד יתכן שמספר האיברים בקבוצה A שווה למספר האיברים בקבוצה B? איך "שתי הקבוצות שוות בגודלן"? החלק יכול להיות שווה בגודלו לשלם המכיל אותו?

 

[sheketz]

בקבוצות אינסופיות עסקינן ../images/Emo8.gif

ושם מותרים וקורים הרבה דברים שאין הדעת מקבלת בקבוצות סופיות. האמת אפשר להראות שתכונה זו מאפיינת את כל הקבוצות האינסופיות. לכן יהיו כאלו שידחו את המושג קבוצה אינסופית בגלל אותן תכונות מרגיזות. מדוע אתה מצפה שאם קבוצה A מוכלת בקבוצה B, מספר האברים שלה יהיה קטן יותר ממספר האברים של קבוצה B?

 

[אמיר96]

לא מדובר במספר איברים

מדובר בעוצמה של הקבוצה. עבור קבוצות אינסופיות אי אפשר לדבר על מספר איברים, אלא רק על עוצמה.

 

[sheketz]

כמובן, אתה צודק

 

[karpada1]

אמיר,במחילה אבהיר(לבוהה)

שתי הקבוצות אינן שוות בגודלן מעצם כך שאין להן כלל גודל,(המונח "אינסוף" אינו מתאר גודל)ושימוש במינוח זה (לטעמי)מהווה טעות פטאלית. שכצ בעצמו טוען(ובצדק) שתכונותיהן של קבוצות אינסופיות אינן זהות(בהכרח ובפועל) לאלו של קבוצות סופיות,אך פועל בניגוד ללוגיקה זו כאשר הוא רושם "גודל"-מונח בעל מטען של תכונות מובלעות בתוכו.(המקושר לסופיות) לשאלתך, קבוצות A וB שוות בעוצמתן ולא בגודלן. פשוט להבין שוויון זה על פי שיטת הצמדים ששכצ הציג: נאמר:A-טבעיים,B-זוגיים. כעת מול כל טבעי נציב זוגי:1,2 2,4 3,6 4,8...... N,2N מעצם כך שהמחסניות של שתי קבוצות מכילות כמות זהה של תחמושת(שהרי לא יתכן איבר בקבוצה אחת ללא איבר "צמוד" מהקבוצה השניייה) הרי שעוצמת A שווה לעוצמת B.

 

[בוהה ניכחו]

תודה, ועוד שאלה

לי נראה, אינטואיטיבית, שאם יש התאמה חד חד ערכית ועל בין שתי קבוצות - הרי שמספר האיברים שבשניהם חייב להיות שווה. ברור לי שהאינסוף גורר אי הבנות וחשדות לפרדוקסים. אולי בגלל שהוא לא מתמסר לאינטואיציות. תודה לך ותודה למר שכצ.

 

[karpada1]

אין משמעות להשוואת "מספר האיברים"

(סליחה מראש על שימוש בסימונים משוקצים מבחינה מתמטית), "אינסוף בריבוע","אינסוף מינוס 3", "שורש של אינסוף"-לכל הביטויים אשר מקושרים למונח 'אינסוף' יש "מספר איברים" זהה והוא: אינסוף(הפתעה גדולה כאן

),לכן לא ניתן להבדיל באמצעות פרמטר זה בין קבוצות שונות של אינסוף.(אינטואיציה זה אנדר-רייטד)

 

[בוהה ניכחו]

היה ברור לי מלכתחילה שאינסוף איננו

מספר. אני רק מנסה להבין אם הביטוי "עוצמה" לא מחפה כאן על איזה פרדוקס.

 

[karpada1]

את קבוצת האי רציונאליים אתה מכיר?

 

[בוהה ניכחו]

מספר לא ראציונאלי

הוא זה שלא ניתן לבטא אותו כמנה של שני מספרים שלמים. למשל פאי או שורש של 2. זה נקרא היכרות?