אינטגרלים ...

[mike0brv]

אינטגרלים ...

אוקיי... בתור חובבן מתמטיקה קטן אני מנסה להבין קצת יותר לעומק את עיניין האינטגרלים , ובשביל זה ניסיתי לחקור טיפלה את האינטגרל של y=x שהיא פונקציה לינארית פשוטה ולאכן ציפיתי שזה לא יהיה קשה מידי ,אבל... טוב , קודם על ע"פ הגרף ניתן לראות בקלות שב x נתון , השטח של הגרף מ הנקודה 0 ועד הנקודה x הוא x^2/2 משום שאם מורידים אנך מגרך הפונקציה לציר ה איקס ב x נוצר משולש ששטחו הוא השטח הנ"ל... אבל... אני ניסיתי לחקור את עיניין האינטגרל בשיטה של חלוקת השטח להרבה מלבנים קטנים שהרווחים ביניהם שואפים לאפס... ואז התחלתי : קודם כל השטחים יהיו בעצם סדרה של שטחים שסכום הסדרה הזאת הוא ערף השטח של הגרף... התחלתי לבדוק : חילקתי את ציר האיקס מהנקודה x ועד לנקודה 0 ל n חלקים שאורף כל חלק הוא dx - ואז יצרתי סדרה שכל איבר בה הוא השטח שיוצא המלבן של f(x)*dx/2 משום ש f(x) = dx ו x1 = 0 x2 = dx x3 = 2dx x4 = 3x * * * xn = (n-1)dx הסדרה תהיה : a1 = 0 a2 = sx^2/2 a3 = dx^2 a4=3x^2/3 * * * a = (n-1)dx^2/2 כלאמר .... קודם כל זאת היא סידרה חשבונית משום שהפרש כל איבר מהקודם לו הוא : dx^2/2 והאיבר הכללי של הסדרה הוא " a = (n-1)dx^2/2 ועכשיו .... אם כן הסכום של הסדרה הזאת אמור היה להיות השטח של הפונקציה ! אבל.... הסכום של סדרה חשבונית מוגדר ע"י : s = (a[1]+a[n])*n/2 וידוע לנו ש: a1=0 ו an = (n-1)dx^2/2 יוצא ש : s = (n^2-n)*dx/4 וdx אמור לשאוף לאפס אז... s = lin(dx->0) [(n^2-n)*dx/4] = 0 והרי שהשטח לא שוווווווווווווווה לאפס !(((((((( אין לי מושג ... אולי הידע שלי בגבולות לא מספיק גבוהה או שמה שעשיתי זה שטות אחת גדולה !!! בבקשה שמישהו יעזור לי ! [תודה תודה תודה !]

 

[איגור קרסיק]

.....

הטעויות הן: 1.

s=0.25(n^2-n)*(dx)^2​

2. בחישוב הגבול שכחת ש-dx=1/n ולכן התיחסת ל-n כאל פרמטר למראת שהוא לא! 3. החישוב שלך לא מוכיח שהאינטגרל מ-0 עד 1 של x שווה לרבע, אלא מראה שאם האינטגרל קיים אז הוא בהכרח שווה לרבע....

 

[mike0brv]

המ... תודה ,אבל כרגיל יש אבל

אני לגמרי לא הבנתי את ההסברים שלך , תאלץ ( אם תוכל) להסביר כמה שאתה יכול כמו לילד אידיוט כמוני למה dx=1/n ? ומה לעזעזל "הראתי" ולא "הוכחתי" ו... אולי אולי אם יש לך זמן רצון ואנרגיה תוכל ( תוכלו כל מי שיכול ) לסביר לי כזה במופשט ובשלבים איך מגיעים לאינטגרל של y=x בצורה הזאת ?

 

[איגור קרסיק]

בסדר...

כתבת שחילקת את הקטע מ-0 עד 1 ל-n חלקים שווים. אורך כל קטע סימנת ב-dx. לכן dx כפול n שווה לאורך הקטע. והרי הוא 1, ומכאן נובע ש: dx=1/n. בקשר לאינטגרלים: לצערי אין לי זמן לכתוב לך עכשיו... אולי אחר-כך...

 

[Halfbaked]

הרעיון נכון ומבוסס

אך לפיתוח שלך השתרבבו מספר טעויות. במקום להזכיר אותן במפורש, אתן פיתוח משלי (שיתן בתקווה תוצאה נכונה), ואתה מוזמן להשוות בין הפיתוחים: נחלק את הקטע בין 0 ל-x ל-n קטעים שווים (שאורך כל אחד מהם x/n). נקבע את גובה המלבנים על פי ערכה של הפונקציה בנקודה השמאלית בכל קטע, כלומר:

x0=0, x1=x/n, x2=2x/n, ... xn=(n-1)x/n​

מכיוון שבסיסי המלבנים כולם שווים ל-x/n, שטחי המלבנים הם

a0=0, a1=(x/n)^2, a2=2(x/n)^2, ... an=(n-1)(x/n)^2​

וסכום השטחים הוא

a0+a1+...+an = (x/n)^2 * [0+1+...+(n-1)] = (x/n)^2 * n(n-1)/2 = x^2 * (n-1)/2n​

וגבול הסכום, כאשר n שואף לאינסוף, הוא x^2/2. שים לב שפיתוח זה מוכיח שהשטח הוא x^2/2 רק אם נשתמש במשפט האומר שהגבול הנ"ל תמיד קיים עבור פונקציות רציפות, וערכו אינו תלוי בבחירת הנקודות בכל קטע. במקרה הנ"ל בחרנו את הנקודה השמאלית בכל קטע, אך אפריורית אין לדעת אם בחירת נקודות אחרות תתן גבול אחר (אם בכלל). במקרה הנוכחי, אמנם, ניתן לתת טיעון מעט פשוט יותר: נשים לב שבבחירת הנקודות השמאליות, סכום שטחי המלבנים תמיד יהיה קטן מהשטח אותו אנו מנסים למצוא, ולכן הגבול יהווה חסם תחתון. אם נבחר את הנקודות הימניות נקבל חסם עליון, ולכן מספיק להראות שבבחירת הנקודות הימניות הגבול קיים ושווה גם הוא ל-x^2/2. את זה אשאיר לך.

 

[mike0brv]

תוווודה !